In der Mathematik sind die symmetrischen Carlson-Formen der elliptischen Integrale eine kleine kanonische Menge von elliptischen Integralen, auf die alle anderen reduziert werden können. Sie sind eine moderne Alternative zu den Legendre-Formen. Die Legendre-Formen können in Carlson-Formen ausgedrückt werden und umgekehrt.
Die elliptischen Carlson-Integrale sind:
![{\displaystyle R_{F}(x,y,z)={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bcdb391f437c2f15b9257bb49cffcfc642bcfd6)
![{\displaystyle R_{J}(x,y,z,p)={\tfrac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{(t+p){\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195acec5c01f188c81346630d8986705e05eb822)
![{\displaystyle R_{C}(x,y)=R_{F}(x,y,y)={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{(t+y){\sqrt {(t+x)}}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6b2bb5a5972cdf2bbb6f12eda2c536e87d2dd9b)
![{\displaystyle R_{D}(x,y,z)=R_{J}(x,y,z,z)={\tfrac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{(t+z)\,{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f376ccfb601413734d1c6bb6f5f4143eb9f3e8)
Da
und
Sonderfälle von
und
sind, können alle elliptischen Integrale letztlich durch
und
dargestellt werden.
Der Begriff symmetrisch bezieht sich auf die Tatsache, dass diese Funktionen im Gegensatz zu den Legendre-Formen durch Vertauschung bestimmter Funktionsargumente unverändert bleiben. Der Wert von
ist derselbe für jede Permutation der Argumente, und der Wert von
ist derselbe für jede Permutation der ersten drei Argumente.
Die elliptischen Carlson-Integrale sind nach Bille C. Carlson[1] benannt.
Unvollständige elliptische Integrale
Unvollständige elliptische Integrale können mit Hilfe der symmetrischen Carlson-Formen leicht berechnet werden:
![{\displaystyle F(\phi ,k)=\sin \phi \;R_{F}({\cos ^{2}}\phi ,1-{k^{2}\sin ^{2}}\phi ,1)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b5198b3bc4c864d6eeee78cb183bd1ace83cc9)
![{\displaystyle E(\phi ,k)=\sin \phi \;R_{F}({\cos ^{2}}\phi ,1-{k^{2}\sin ^{2}}\phi ,1)-{\tfrac {1}{3}}{k^{2}\sin ^{3}}\phi \;R_{D}({\cos ^{2}}\phi ,1-{k^{2}\sin ^{2}}\phi ,1)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94aff1ced89322e3a34423b571d50af4f9e17a5a)
![{\displaystyle \Pi (\phi ,n,k)=\sin \phi \;R_{F}({\cos ^{2}}\phi ,1-{k^{2}\sin ^{2}}\phi ,1)+{\tfrac {1}{3}}{n\sin ^{3}}\phi \;R_{J}({\cos ^{2}}\phi ,1-{k^{2}\sin ^{2}}\phi ,1,1-{n\sin ^{2}}\phi )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3afd9052e9b227f6ad688f3ba11102886a5261a9)
(Anmerkung: dies gilt nur für
und
)
Die Carlson-Formen werden folgendermaßen durch die Legendre-Formen dargestellt:
![{\displaystyle R_{F}(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {z-x}}}F\left[\arcsin \left({\sqrt {\frac {z-x}{z}}}\,\right),{\sqrt {\frac {z-y}{z-x}}}\,\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/974b055ad33ec3035d685c754a716ce60e68a436)
Dabei gilt 0 < x < y < z als Bedingung.
Vollständige elliptische Integrale
Vollständige elliptischen Integrale können durch Einsetzen von φ = π/2 berechnet werden:
![{\displaystyle K(k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff802e24d749a5538fd7a6c5e06e79b166479e6f)
![{\displaystyle E(k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)-{\tfrac {1}{3}}k^{2}R_{D}\left(0,1-k^{2},1\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6433d88dc6ac003399cbf4a98ab5da4ee21978)
![{\displaystyle \Pi (n,k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)+{\tfrac {1}{3}}nR_{J}\left(0,1-k^{2},1,1-n\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8b1631579676e06ff33ac06e8012adc0f201b42)
Wenn zwei beliebige oder alle drei Argumente von
identisch sind, dann macht die Substitution
den Integranden rational. Das Integral kann dann durch elementare transzendente Funktionen ausgedrückt werden.
![{\displaystyle R_{C}(x,y)=R_{F}(x,y,y)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{{\sqrt {t+x}}\,(t+y)}}=\int _{\sqrt {x}}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} u}{u^{2}-x+y}}={\begin{cases}{\frac {\textstyle \arccos \scriptstyle {\sqrt {\frac {x}{y}}}}{\sqrt {y-x}}},&x<y\\{\frac {1}{\sqrt {y}}},&x=y\\{\frac {\textstyle \operatorname {arccosh} \scriptstyle {\sqrt {\frac {x}{y}}}}{\sqrt {x-y}}},&x>y\\\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac91a71bdf57c0c741e39d401486e4347799ab3)
Ähnlich verhält es sich, wenn mindestens zwei der ersten drei Argumente von
identisch sind,
![{\displaystyle R_{J}(x,y,y,p)=3\int _{\sqrt {x}}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} u}{(u^{2}-x+y)(u^{2}-x+p)}}={\begin{cases}{\frac {3}{p-y}}(R_{C}(x,y)-R_{C}(x,p)),&y\neq p\\{\frac {3}{2(y-x)}}\left(R_{C}(x,y)-{\frac {1}{y}}{\sqrt {x}}\right),&y=p\neq x\\{\frac {1}{y^{3/2}}},&y=p=x\\\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/683963a5b1198114dd93b3d7a666fedb7cdd7cfd)
Homogenität
Wenn man in die Integraldefinitionen jede Konstante
durch
ersetzt, stellt man fest, dass
![{\displaystyle R_{F}\left(\kappa x,\kappa y,\kappa z\right)=\kappa ^{-1/2}R_{F}(x,y,z)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fb128ad37a50039fd5c313dad289f580c7bd7cd)
![{\displaystyle R_{J}\left(\kappa x,\kappa y,\kappa z,\kappa p\right)=\kappa ^{-3/2}R_{J}(x,y,z,p)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ddd5a95065ad19a77e92096218af66af556dcd)
Duplikationssatz
![{\displaystyle R_{F}(x,y,z)=2R_{F}(x+\lambda ,y+\lambda ,z+\lambda )=R_{F}\left({\frac {x+\lambda }{4}},{\frac {y+\lambda }{4}},{\frac {z+\lambda }{4}}\right),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e05dc2e4aa7c53ffe464f93456a6ab0cff34c4)
mit
.
[2]
mit
and
.
Um eine Taylorreihe für
oder
zu erhalten, erweist es sich als praktisch, um den Mittelwert aller Argumente zu entwickeln. Für
sei der Mittelwert der Argumente also
, und unter Verwendung der Homogenität werden
,
und
definiert durch
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{F}(x,y,z)&=R_{F}(A\cdot (1-\Delta x),A\cdot (1-\Delta y),A\cdot (1-\Delta z))\\&={\frac {1}{\sqrt {A}}}R_{F}(1-\Delta x,1-\Delta y,1-\Delta z)\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c00e78c456f5030c5dca11d750d6d5992408562)
d. h.
usw. Die Differenzen
,
und
werden mit diesem Vorzeichen definiert (so dass sie subtrahiert werden), um mit Carlsons Veröffentlichungen übereinzustimmen. Da
unter der Permutation von
,
und
symmetrisch ist, sie ist auch symmetrisch in
,
und
. Daraus folgt, dass sowohl der Integrand von
, als auch sein Integral als Funktionen der Elementarsymmetrischen Polynome in
,
und
ausgedrückt werden können, das sind
![{\displaystyle E_{1}=\Delta x+\Delta y+\Delta z=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/142d7f978c9c3873c6dae47448a5384202736a57)
![{\displaystyle E_{2}=\Delta x\Delta y+\Delta y\Delta z+\Delta z\Delta x}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aafc0c777962d2245bb0ffc0cf6109b6c4298ad2)
.
Den Integranden durch diese Polynome ausgedrückt, eine mehrdimensionale Taylorentwicklung durchgeführt und Term für Term integriert, ergibt
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{F}(x,y,z)&={\frac {1}{2{\sqrt {A}}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(t+1)^{3}-(t+1)^{2}E_{1}+(t+1)E_{2}-E_{3}}}}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{2{\sqrt {A}}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{(t+1)^{3/2}}}-{\frac {E_{2}}{2(t+1)^{7/2}}}+{\frac {E_{3}}{2(t+1)^{9/2}}}+{\frac {3E_{2}^{2}}{8(t+1)^{11/2}}}-{\frac {3E_{2}E_{3}}{4(t+1)^{13/2}}}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{\sqrt {A}}}\left(1-{\frac {1}{10}}E_{2}+{\frac {1}{14}}E_{3}+{\frac {1}{24}}E_{2}^{2}-{\frac {3}{44}}E_{2}E_{3}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e5e8434a9f758b7a26d1c77c54a830e9320bfe8)
Der Vorteil der Entwicklung um den Mittelwert der Argumente offenbart sich jetzt; sie reduziert
auf Null und eliminiert damit alle Terme mit
, die sonst am zahlreichsten wären.
Eine aufsteigende Reihe für
kann auf ähnliche Weise gefunden werden. Es gibt eine kleine Schwierigkeit, weil
nicht vollständig symmetrisch ist; seine Abhängigkeit vom vierten Argument,
, unterscheidet sich von der Abhängigkeit von
,
und
. Dies wird dadurch überwunden, dass
als eine vollsymmetrische Funktion von fünf Argumenten behandelt wird, von denen nun zwei den gleichen Wert
haben. Der Mittelwert der Argumente wird daher
.
und die Differenzen
,
,
und
definiert durch
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&=R_{J}(A(1-\Delta x),A(1-\Delta y),A(1-\Delta z),A(1-\Delta p))\\&={\frac {1}{A^{3/2}}}R_{J}(1-\Delta x,1-\Delta y,1-\Delta z,1-\Delta p)\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23240839999a96b8eb3be5265caa131f1a8ddde)
Die Elementarsymmetrischen Polynome von
,
,
,
und (nochmal)
sind insgesamt
![{\displaystyle E_{1}=\Delta x+\Delta y+\Delta z+2\Delta p=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb973b8b7a8ec6d115699fbdff2c9efe01d8b3e7)
![{\displaystyle E_{2}=\Delta x\Delta y+\Delta y\Delta z+2\Delta z\Delta p+\Delta p^{2}+2\Delta p\Delta x+\Delta x\Delta z+2\Delta y\Delta p}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a7e2183758a9d47e42b3d769496e56fbeadec5)
![{\displaystyle E_{3}=\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta y\Delta p+\Delta x\Delta y\Delta z+2\Delta y\Delta z\Delta p+\Delta y\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta z\Delta p}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/433a0d3b0d48b8132f17c71eb839eb7ec0d20b70)
![{\displaystyle E_{4}=\Delta y\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta y\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta y\Delta z\Delta p}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd81081beee41457c989945aec2194e772b999ad)
![{\displaystyle E_{5}=\Delta x\Delta y\Delta z\Delta p^{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa1cf7a678a32f728e961067b52d9c62486b514)
Es ist jedoch möglich, die Formeln für
,
und
zu vereinfachen, indem man die Tatsache benutzt, dass
. Den Integranden durch diese Polynome ausgedrückt, eine mehrdimensionale Taylorentwicklung durchgeführt und Term für Term integriert, wie zuvor, ergibt
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&={\frac {3}{2A^{3/2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(t+1)^{5}-(t+1)^{4}E_{1}+(t+1)^{3}E_{2}-(t+1)^{2}E_{3}+(t+1)E_{4}-E_{5}}}}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {3}{2A^{3/2}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{(t+1)^{5/2}}}-{\frac {E_{2}}{2(t+1)^{9/2}}}+{\frac {E_{3}}{2(t+1)^{11/2}}}+{\frac {3E_{2}^{2}-4E_{4}}{8(t+1)^{13/2}}}+{\frac {2E_{5}-3E_{2}E_{3}}{4(t+1)^{15/2}}}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{A^{3/2}}}\left(1-{\frac {3}{14}}E_{2}+{\frac {1}{6}}E_{3}+{\frac {9}{88}}E_{2}^{2}-{\frac {3}{22}}E_{4}-{\frac {9}{52}}E_{2}E_{3}+{\frac {3}{26}}E_{5}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/037ce1f8b49236cede0b52af17c90973e3da968b)
Wie bei
werden durch die Entwicklung um den Mittelwert der Argumente mehr als die Hälfte der Terme (diejenigen, die
enthalten) eliminiert.
Im Allgemeinen dürfen die Argumente
,
und
von Carlsons Integralen nicht reell und negativ sein, da dies einen Verzweigungspunkt auf dem Integrationspfad erzeugen würde, was das Integral mehrdeutig machen würde. Wenn jedoch das zweite Argument von
oder das vierte Argument
von
negativ ist, dann ergibt sich eine einfache Polstelle auf dem Integrationspfad. In diesen Fällen kann der Cauchysche Hauptwert (der endliche Teil) der Integrale von Interesse sein; dies sind
![{\displaystyle \mathrm {p.v.} \;R_{C}(x,-y)={\sqrt {\frac {x}{x+y}}}\,R_{C}(x+y,y),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e9f528dc562354a81a93a5cfc9861ab5fe4762)
und
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {p.v.} \;R_{J}(x,y,z,-p)&={\frac {(q-y)R_{J}(x,y,z,q)-3R_{F}(x,y,z)+3{\sqrt {y}}R_{C}(xz,-pq)}{y+p}}\\&={\frac {(q-y)R_{J}(x,y,z,q)-3R_{F}(x,y,z)+3{\sqrt {\frac {xyz}{xz+pq}}}R_{C}(xz+pq,pq)}{y+p}}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3018a6b81d62229f633086131602f94be76f16)
wobei
![{\displaystyle q=y+{\frac {(z-y)(y-x)}{y+p}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de3e7bf8b9e209bae9a6946a44ef18fcefbeecd)
größer als Null sein muss, damit
ausgewertet werden kann. Dies kann erreicht werden, indem
,
und
so permutiert werden, dass der Wert von
zwischen dem von
und
liegt.
Der Duplikationssatz kann für eine schnelle und robuste Auswertung der symmetrischen Carlson-Formen von elliptischen Integralen verwendet werden, und damit auch für die Auswertung der Legendre-Form der elliptischen Integrale.[3] Zur Berechnung von
definieren wir zunächst
,
und
. Dann wird die Reihe iteriert
![{\displaystyle \lambda _{n}={\sqrt {x_{n}}}{\sqrt {y_{n}}}+{\sqrt {y_{n}}}{\sqrt {z_{n}}}+{\sqrt {z_{n}}}{\sqrt {x_{n}}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9df265312fa4748b956d11341df2af9ab084a3d)
![{\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}+\lambda _{n}}{4}},y_{n+1}={\frac {y_{n}+\lambda _{n}}{4}},z_{n+1}={\frac {z_{n}+\lambda _{n}}{4}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dc3e56d2f46d8bcf2922fb73d2f7f3f121771ec)
bis die gewünschte Präzision erreicht ist: Wenn
,
und
nicht negativ sind, konvergieren alle Reihen schnell zu einem bestimmten Wert
. Damit ist
![{\displaystyle R_{F}\left(x,y,z\right)=R_{F}\left(\mu ,\mu ,\mu \right)=\mu ^{-1/2}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ca79f141147ccb05748e30ac78e292ba1ebb05c)
Die Auswertung von
erfolgt ebenso mit Hilfe der Beziehung
![{\displaystyle R_{C}\left(x,y\right)=R_{F}\left(x,y,y\right).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cff3502c22fea1bb5edc59ec7990318c4586470)
Bille C. Carlson: Numerical computation of real or complex elliptic integrals. In: Numerical Algorithms. 1994, arxiv:math/9409227v1. WH Press, SA Teukolsky, WT Vetterling, BP Flannery: Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. 3rd Auflage. Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88068-8, Section 6.12. Elliptic Integrals and Jacobian Elliptic Functions.