Stolarsky-Mittel

In der Mathematik ist der Stolarskysche Mittelwert oder kurz das Stolarsky-Mittel ein von Kenneth B. Stolarsky^[1] eingeführter Mittelwert, der das logarithmische Mittel verallgemeinert.

Für zwei Zahlen ${\displaystyle x,y}$ und einen Parameter ${\displaystyle p}$ ist das Stolarsky-Mittel definiert als

${\displaystyle S_{p}(x,y)\,=\,\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}\left({\frac {\xi ^{p}-\eta ^{p}}{p(\xi -\eta )}}\right)^{1 \over p-1}\,=\,{\begin{cases}x&{\mbox{falls }}x=y\\\left({\frac {x^{p}-y^{p}}{p(x-y)}}\right)^{1 \over p-1}&{\mbox{sonst}}\end{cases}}}$^[2][3]

Dabei ist der Grenzwert über alle Paare ${\displaystyle (\xi ,\eta )}$ mit ${\displaystyle \xi \not =\eta }$ zu bilden. Im Falle ${\displaystyle x=y}$ ist der Grenzwert die ${\displaystyle {1 \over p-1}}$-te Potenz des Differentialquotienten der Funktion ${\displaystyle x\mapsto {\frac {x^{p}}{p}}}$ und stimmt daher tatsächlich, wie angegeben, mit ${\displaystyle x}$ überein.

Spezialfälle

Das Stolarsky-Mittel hat folgende Spezialfälle:

${\displaystyle S_{-\infty }(x,y)}$	${\displaystyle \,={\text{min}}\{x,y\}}$	Minimum (Grenzwert!)
${\displaystyle \,S_{-1}(x,y)}$	${\displaystyle ={\sqrt {xy}}}$	Geometrisches Mittel
${\displaystyle \,S_{0}(x,y)}$	${\displaystyle ={\frac {x-y}{\log x-\log y}}}$	Logarithmisches Mittel (Grenzwert!)
${\displaystyle S_{\frac {1}{2}}(x,y)}$	${\displaystyle =\left({\frac {{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}{2}}\right)^{2}}$	Hölder-Mittel mit 1/2
${\displaystyle \,S_{1}(x,y)}$	${\displaystyle ={\frac {1}{e}}\left({\frac {y^{y}}{x^{x}}}\right)^{\frac {1}{y-x}}}$	identric mean[4] (Grenzwert!)
${\displaystyle \,S_{2}(x,y)}$	${\displaystyle ={\frac {x+y}{2}}}$	Arithmetisches Mittel
${\displaystyle S_{\infty }(x,y)}$	${\displaystyle =\,{\text{max}}\{x,y\}}$	Maximum (Grenzwert!)

Gewichtetes Stolarsky-Mittel

Das Stolarsky-Mittel lässt sich auch gewichten:^[5]

${\displaystyle S_{\omega _{1},\omega _{2}}(x,y)=\left({\frac {\omega _{2}\cdot (x^{\omega _{1}}-y^{\omega _{1}})}{\omega _{1}\cdot (x^{\omega _{2}}-y^{\omega _{2}})}}\right)^{\frac {1}{\omega _{1}-\omega _{2}}}}$

Referenzen

• Horst Alzer: Bestmögliche Abschätzungen für spezielle Mittelwerte. (PDF; 141 kB)
• Horst Alzer: Ungleichungen für Mittelwerte. In: Archiv der Mathematik, Vol. 47 (5), November 1986, springerlink.com
• Edward Neumann: Stolarski Means of Several Variables (PDF; 254 kB) In: Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Vol. 6, 2(30), 2005.
• Thomas Riedel, Prasanna K. Sahoo: A characterization of the Stolarsky mean. In: Aequationes Mathematicae, 70, Nr. 1/2, Sept. 2005, springerlink.com

Einzelnachweise

1. Kenneth B. Stolarsky: Generalizations of the logarithmic mean. In: Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, März, 1975, S. 87–92
2. Eric W. Weisstein: Stolarsky mean. In: MathWorld (englisch).
3. Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-48495-0
4. Eric W. Weisstein: Identric Mean. In: MathWorld (englisch).
5. Laszlo Losonczi: Ratio of Stolarsky means: monotonicity and comparison