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Die Spektraldichte eines stationären stochastischen Prozesses erlaubt tiefe Einblicke in die Struktur des Prozesses, insbesondere wenn es sich um Erkenntnisse über Periodizitäten handelt. Es ist also wichtig, dass aus gegebenen Daten, z. B. einer konkreten Zeitreihe, die Spektraldichte gut geschätzt werden kann.
Grundlage der meisten Schätzer ist das Periodogramm, das auf Arthur Schuster 1898 zurückgeht.[1]
Sei ( die Menge der ganzen Zahlen) ein (evtl. komplexwertiger) stationärer stochastischer Prozess mit
Falls , gilt die Spektraldarstellung von :
Die Funktion heißt Spektraldichte. Ihr Funktionswert gibt die Intensität der Frequenz im Spektrum von an.
Seien Realisierungen eines stationären stochastischen Prozesses mit . Dann heißt der Ausdruck
Periodogramm der konkreten Zeitreihe .
Man kann das Periodogramm umformen in
erweist sich also als die (empirische) Fouriertransformierte der empirischen Kovarianzfunktion . Da die Fouriertransformierte von ist, kann man heuristisch erwarten, dass eine geeignete Schätzung für darstellt. Tatsächlich ist das Periodogramm eine asymptotisch erwartungstreue Schätzung der Spektraldichte, allerdings ist sie nicht konsistent,[2] d. h. in unmodifizierter Form nur eingeschränkt geeignet zur Schätzung der Spektraldichte.
Erwartungstreue und konsistente Schätzungen für erzeugt man durch geeignete gewichtete Mittel von aus einer geeigneten Umgebung von .[3] Eine allgemeine Darstellung dafür ist
mit geeignetem Spektralfenster . In der Regel wird obiges diskret erzeugt als Summe, und zwar für die sogenannten Fourierfrequenzen , wobei so gewählt ist, dass gilt. Dann hat man die Struktur
Wenn die und folgende Eigenschaften haben, erzwingt man Konsistenz:[4]
Die Gewichte werden in der Regel durch symmetrische Kernfunktionen mit erzeugt gemäß:[5]
siehe z. B.[5] Vereinfacht schreiben wir jetzt und anstatt und .
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