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Die Spektraldarstellung stationärer stochastischer Prozesse ist in gewissem Sinne ein Analogon zur Fourierreihenentwicklung einer Funktion. Jede beschränkte stetige Funktion kann als additive Überlagerung harmonischer Schwingungen dargestellt werden. Auch ein stationärer stochastischer Prozess kann dargestellt werden als additive Überlagerung harmonischer Schwingungen, allerdings mit zufälliger Amplitude. Die Spektraldarstellung eines stationären Prozesses bietet in der Regel tiefere Einblicke in die Struktur des Prozesses, insbesondere wenn es sich um eine Mischung verschiedener periodischer Anteile handelt.
Sei die Menge der ganzen Zahlen und ein zeitdiskreter stationärer stochastischer Prozess mit Erwartungswert und Kovarianzfunktion , die wegen der Stationarität nur von der Differenz der Zeitpunkte abhängt, also nur die Funktion einer Variablen ist:.
Jeder stationäre Prozess mit hat die sogenannte Spektraldarstellung[1][2]
Dies ist ein stochastisches Integral, und zwar bzgl. eines Prozesses mit unkorrelierten Zuwächsen, d. h. für sind die Zuwächse und unkorreliert.
Wenn nur endlich viele Zuwächse hat, z. B. Zuwächse bei , dann kann obiges Integral als Summe geschrieben werden:
Jeder Summand ist eine harmonische Schwingung mit Frequenz und der zufälligen Amplitude .
Die Kovarianzfunktion ist eine symmetrische und positiv semidefinite Funktion und hat damit nach dem Satz von Bochner (in diskreter Variante als Satz von Herglotz bezeichnet) die Darstellung[1][2]
Dabei heißt Spektralverteilungsfunktion. Sie ist auf monoton nicht fallend und es gilt . Die Beziehung
stellt die Verbindung zwischen der Spektraldarstellung von und der Spektraldarstellung von dar.
Wenn , dann kann die Spektraldarstellung von als Riemannsches Integral geschrieben werden:
Die Funktion heißt Spektraldichte von . Anschaulich gesprochen gibt an, mit welcher Intensität die Frequenz im Spektrum von vorkommt. Die Spektraldichte selbst hat die Darstellung
ist also die Fouriertransformierte von , bzw. ist die inverse Fouriertransformierte von . Für gilt speziell
Dies kann als Streuungszerlegung (signaltechnisch Leistungsverteilung) auf die verschiedenen Frequenzen interpretiert werden.
Sei nun ein stationärer Prozess mit reellwertigem . Dann modifizieren sich obige Formeln zu:[3]
Dabei ist wiederum ein stochastischer Prozess mit unkorrelierten Zuwächsen. Falls , dann hat die Spektralverteilungsfunktion eine Spektraldichte , und es gilt:
Spektraldarstellungen benötigt man in der Zeitreihenanalyse, in der Signalverarbeitung (siehe z. B. auch Spektrale Leistungsdichte), bei der Konstruktion geeigneter Filter (beispielsweise Tiefpass, Hochpass oder Bandpass).
Besonders wichtig in den Anwendungen sind geeignete Methoden zur Spektraldichteschätzung.
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