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Die simpliziale Kohomologie ist in der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine Methode, die einem beliebigen Simplizialkomplex eine Folge abelscher Gruppen zuordnet. Anschaulich gesprochen zählt sie die Löcher unterschiedlicher Dimension des zugrunde liegenden Raumes.
Ein simplizialer Komplex ist eine Menge von (durch ihre Eckpunkte eindeutig bestimmten) Simplizes, so dass jede Seitenfläche eines der Simplizes wieder in dieser Menge liegt.
Zu einem Simplizialkomplex betrachten wir für die freie abelsche Gruppe über der Menge der -Simplizes des simplizialen Komplexes .
Elemente von sind also formale Summen der Form
mit und ein -Simplex von . Dabei wird gefordert, dass gilt, wenn die Simplizes und umgekehrte Orientierung besitzen.
Die zugehörige Kokettengruppe wird definiert als . Offensichtlich ist eine Abbildung bereits eindeutig festgelegt durch ihre Werte auf -Simplizes.
Die Randabbildung bildet jeden Simplex auf die alternierende Summe seiner Seitenflächen ab, das heißt
wobei bedeutet, dass ausgelassen wird. Sie induziert eine „Korandabbildung“ durch
Man rechnet leicht nach, dass
gilt. ist also ein Kokettenkomplex.
Die Kohomologie dieses Kokettenkomplexes heißt die simpliziale Kohomologie von und wird mit bezeichnet.
Eine simpliziale Abbildung induziert eine Kokettenabbildung
durch
für und , und wegen eine wohldefinierte Abbildung
Sei
eine stetige Abbildung zwischen den geometrischen Realisierungen zweier Simplizialkomplexe und . Wir bezeichnen mit die baryzentrische Unterteilung von und mit die -fach iterierte baryzentrische Unterteilung. Es gilt .
Nach dem simplizialen Approximationssatz gibt es ein , so dass eine simpliziale Approximation
besitzt.
Dann wird
definiert als die Verknüpfung von mit dem kanonischen Isomorphismus . Man kann zeigen, dass der so definierte Homomorphismus unabhängig von der Wahl der simplizialen Approximation ist.
Für eine abelsche Gruppe und einen Simplizialkomplex definiert man
Der Korandoperator wird wieder definiert als
Die Kohomologie mit Koeffizienten in G
ist definiert als die Kohomologie des Kokettenkomplexes .
Die simpliziale Kohomologie eines Simplizialkomplexes ist isomorph zur singulären Kohomologie seiner geometrischen Realisierung:
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