Satz von der monotonen Konvergenz

Der Satz von der monotonen Konvergenz, auch Satz von Beppo Levi genannt (nach Beppo Levi), ist ein wichtiger Satz aus der Maß- und Integrationstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er trifft eine Aussage darüber, unter welchen Voraussetzungen sich Integration und Grenzwertbildung vertauschen lassen.

Mathematische Formulierung

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},\mu )}$ ein Maßraum. Ist ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen ${\displaystyle f_{n}\colon \Omega \to [0,\infty ]}$, die μ-fast überall monoton wachsend gegen eine messbare Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \to [0,\infty ]}$ konvergiert, so gilt

${\displaystyle \int _{\Omega }f\ \mathrm {d} \mu =\lim _{n\to \infty }\int _{\Omega }f_{n}\ \mathrm {d} \mu .}$

Variante für fallende Folgen

Ist ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Funktionenfolge nichtnegativer, messbarer Funktionen ${\displaystyle f_{n}\colon \Omega \to [0,\infty ]}$ mit ${\displaystyle \int _{\Omega }f_{1}\ \mathrm {d} \mu <\infty }$, die μ-fast überall monoton fallend gegen eine messbare Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \to [0,\infty ]}$ konvergiert, so gilt ebenso

${\displaystyle \int _{\Omega }f\ \mathrm {d} \mu =\lim _{n\to \infty }\int _{\Omega }f_{n}\ \mathrm {d} \mu .}$

Beweisidee

Dass die rechte Seite kleinergleich der linken ist, folgt aus der Monotonie des Integrals. Für den Beweis maßgeblich ist also die andere Richtung: Diese lässt sich etwa zuerst für einfache Funktionen zeigen und von da aus auf allgemeine messbare Funktionen übertragen.

Wahrscheinlichkeitstheoretische Formulierung

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine nichtnegative, fast sicher monoton wachsende Folge von Zufallsvariablen, dann gilt für ihre Erwartungswerte

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} (X_{n})=\operatorname {E} \left(\lim _{n\to \infty }X_{n}\right)}$.^[1]

Eine analoge Aussage gilt auch für bedingte Erwartungswerte: Ist ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subset {\mathcal {A}}}$ eine Teil-${\displaystyle \sigma }$-Algebra und ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }X_{n}}$ integrierbar, so gilt fast sicher

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} (X_{n}\mid {\mathcal {G}})=\operatorname {E} \left(\lim _{n\to \infty }X_{n}\mid {\mathcal {G}}\right).}$

Anwendung des Satzes auf Funktionenreihen

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},\mu )}$ wieder ein Maßraum. Für jede Folge ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ nichtnegativer, messbarer Funktionen ${\displaystyle f_{n}\colon \Omega \to [0,\infty ]}$ gilt

${\displaystyle \int _{\Omega }\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu =\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\Omega }f_{n}\ \mathrm {d} \mu .}$

Dies folgt durch Anwendung des Satzes auf die Folge ${\displaystyle \textstyle s_{N}=\sum _{n=1}^{N}f_{n}}$ der Partialsummen. Da die ${\displaystyle f_{n}}$ nichtnegativ sind, ist ${\displaystyle (s_{N})_{N\in \mathbb {N} }}$ monoton wachsend.

Siehe auch

• Satz von der majorisierten Konvergenz
• Lemma von Fatou

Literatur

• Elliott H. Lieb, Michael Loss: Analysis (= Graduate Studies in Mathematics. Bd. 14). 2nd Edition. American Mathematical Society, Providence, RI 2001, ISBN 0-8218-2783-9.

Einzelnachweise

1. Albrecht Irle: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik: Grundlagen - Resultate - Anwendungen. 1. Auflage. Vieweg+Teubner, 2001, ISBN 978-3-519-02395-1. Seiten 116 bis 118