Satz von Schur-Zassenhaus

Der Satz von Schur-Zassenhaus ist ein mathematischer Satz in der Gruppentheorie. Der nach Issai Schur und Hans Julius Zassenhaus benannte Satz lautet^[1]:

• Für eine endliche Gruppe ${\displaystyle G}$ und einen Normalteiler ${\displaystyle N\triangleleft G}$ mit ${\displaystyle \operatorname {ggT} (|N|,[G:N])=1}$ existiert eine Untergruppe ${\displaystyle U\leq G}$ mit ${\displaystyle G\,=\,NU}$ und ${\displaystyle N\cap U\,=\,1}$. Die Gruppe ${\displaystyle G}$ ist also das semidirekte Produkt ${\displaystyle G=N\times _{\theta }U}$ aus ${\displaystyle N}$ und ${\displaystyle U}$.

Die Untergruppe ${\displaystyle U}$ in obigem Satz ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, aber man kann zeigen, dass je zwei solche Untergruppen konjugiert sind.

Beispiele

• Die zyklische Gruppe ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} =\{{\overline {0}},{\overline {1}},\ldots ,{\overline {5}}\}}$ hat den Normalteiler ${\displaystyle N=\{{\overline {0}},{\overline {2}},{\overline {4}}\}}$. Da die Zahlen ${\displaystyle |N|=3}$ und ${\displaystyle [G:N]=2}$ teilerfremd sind, kann der Satz von Schur-Zassenhaus angewendet werden. ${\displaystyle U=\{{\overline {0}},{\overline {3}}\}}$ ist offenbar die einzige Untergruppe, die die Aussage des Satzes erfüllt. Da die Gruppe ${\displaystyle G}$ abelsch ist, ist das semidirekte Produkt in diesem Fall sogar direkt.

• Die symmetrische Gruppe ${\displaystyle G=S_{3}=\{e,d,d^{2},s_{1},s_{2},s_{3}\}}$ hat den Normalteiler ${\displaystyle N=\{e,d,d^{2}\}}$. Wegen ${\displaystyle |N|=3}$ und ${\displaystyle [G:N]=2}$ kann der Satz von Schur-Zassenhaus angewendet werden, offenbar erfüllen die drei Untergruppen ${\displaystyle U_{i}=\{e,s_{i}\},\,i=1,2,3}$ die Aussage des Satzes.

• Die zyklische Gruppe ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} =\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\}}$ hat den Normalteiler ${\displaystyle N=\{{\overline {0}},{\overline {2}}\}}$. Hier sind ${\displaystyle |N|=2}$ und ${\displaystyle [G:N]=2}$ nicht teilerfremd, weshalb der Satz nicht anwendbar ist. Tatsächlich gibt es keine Untergruppe ${\displaystyle U\subset G}$, die die Aussage des Satzes erfüllt, denn eine solche müsste ein Element der Ordnung 2 haben, aber das einzige Element der Ordnung 2 ist ${\displaystyle {\overline {2}}}$ und das liegt bereits in ${\displaystyle N}$. Dieses Beispiel zeigt, dass auf die Teilerfremdheit von ${\displaystyle |N|}$ und ${\displaystyle [G:N]}$ in obigem Satz nicht verzichtet werden kann.

• Ist ${\displaystyle N}$ irgendeine Gruppe, so zeigt das Beispiel ${\displaystyle G=N\times N}$, dass die Teilerfremdheitsbedingung nicht notwendig ist für das Bestehen einer Darstellung als semidirektes, ja sogar direktes, Produkt.

Einzelnachweise

1. Rowen B. Bell, J. L. Alperin: Groups and Representations, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, Band 162, ISBN 0-387-94526-1 (Kapitel 9: The Schur-Zassenhaus-Theorem)

Quellen

• Andreas Nickel: Basiswissen Algebra (PDF; 544 kB), Universität Regensburg, S. 6