Satz von Mertens (Cauchy-Produkt)

Der Satz von Mertens (nach Franz Mertens) ist ein mathematischer Lehrsatz aus der Analysis, der eine Aussage über die Konvergenz eines Cauchy-Produkts zweier Reihen liefert.

Formulierung

Sind ${\displaystyle \textstyle A=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ und ${\displaystyle \textstyle B=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}}$ konvergente Reihen, wobei mindestens eine der beiden absolut konvergiert, so konvergiert das Cauchy-Produkt ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }c_{k}}$, wobei ${\displaystyle \textstyle c_{k}=\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j}}$ ist, gegen ${\displaystyle AB}$.

Beweis

Ohne Einschränkung sei ${\displaystyle A}$ die absolut konvergente Reihe. Zu zeigen ist nun, dass die Partialsumme ${\displaystyle \textstyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{k}}$ gegen ${\displaystyle AB}$ konvergiert.

Im Folgenden sei ${\displaystyle \textstyle A_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}}$ und ${\displaystyle \textstyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k}}$.

Cauchyprodukt

1. ${\displaystyle AB}$ lässt sich schreiben als ${\displaystyle \textstyle (A-A_{n})B+\sum _{k=0}^{n}a_{k}B}$
2. ${\displaystyle S_{n}}$ lässt sich schreiben als ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}B_{n-k}}$

Die Differenzbildung 1.- 2. ergibt

${\displaystyle AB-S_{n}=(A-A_{n})B+\sum _{k=0}^{n}a_{k}(B-B_{n-k})}$

Dabei konvergiert ${\displaystyle (A-A_{n})B}$ gegen Null und mit ${\displaystyle N:=\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }$ lässt sich letzte Reihe aufspalten zu

${\displaystyle \underbrace {\sum _{k=0}^{N}a_{k}(B-B_{n-k})} _{=P_{n}}+\underbrace {\sum _{k=N+1}^{n}a_{k}(B-B_{n-k})} _{=Q_{n}}\,.}$

Es gilt

${\displaystyle |P_{n}|\leq \sum _{k=0}^{N}|a_{k}|\cdot |B-B_{n-k}|\leq \max _{N\leq k\leq n}|B-B_{k}|\,\sum _{k=0}^{N}|a_{k}|\to 0\,,}$

denn letzter Ausdruck ist ein Produkt von einer Nullfolge mit einer beschränkten Folge. Da die Nullfolge ${\displaystyle (B-B_{k})}$ beschränkt sein muss, gibt es ein ${\displaystyle C>0}$ mit ${\displaystyle |B-B_{k}|<C\quad \forall k\in \mathbb {N} }$. Daher ist

${\displaystyle |Q_{n}|\leq \sum _{k=N+1}^{n}|a_{k}|\cdot |B-B_{n-k}|\leq C\sum _{k=N+1}^{n}|a_{k}|\to 0}$

nach dem Cauchy-Kriterium. Also gilt ${\displaystyle AB-S_{n}\to 0}$, woraus unmittelbar ${\displaystyle S_{n}\to AB}$ folgt.

Das Cauchy-Produkt unter bedingter Konvergenz

Sind beide Ausgangsreihen nur bedingt konvergent, dann muss das Cauchy-Produkt nicht konvergieren, wie das Beispiel^[1] zeigt: Das Cauchy-Produkt der Reihen ${\displaystyle A,B}$ mit ${\displaystyle a_{k}=b_{k}={\tfrac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}}$ konvergiert nicht, siehe Cauchy-Produktformel#Eine divergente Reihe.

Hardy^[2] zeigte allerdings, dass das Cauchy-Produkt auch für zwei nur bedingt konvergente Reihen konvergiert, wenn die Folgen ${\displaystyle a_{k}\cdot k}$ und ${\displaystyle b_{k}\cdot k}$ beschränkt sind. Für die bekanntermaßen nicht absolut konvergenten Ausgangsreihen

${\displaystyle A=B=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{2n+1}}}$

mit Wert ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$ ist das Cauchy-Produkt also konvergent mit Wert ${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{2}}{16}}}$.