Primzahlpotenz

Primzahlpotenzen (kurz Primpotenzen) sind natürliche Zahlen, die eine Potenz einer Primzahl ${\displaystyle p}$ sind, z. B. ${\displaystyle 625=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^{4}}$.

Primzahlpotenzen treten bei endlichen Körpern auf. Die Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers ist immer eine Primzahlpotenz.

Beispiele und Werte

• ${\displaystyle 169=13^{2}}$
• ${\displaystyle 2401=7^{4}}$
• ${\displaystyle 1024=2^{10}}$

Die ersten Primzahlpotenzen sind:

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101 …^[1]

Lässt man die einfachen Primzahlen, also die Primpotenzen mit 1 als Exponent, aus, erhält man:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 49, 64, 81, 121, 125, 128, 169, 243, 256, 289, 343, 361, 512, 529, 625, 729, 841, 961, 1024, 1331 …^[2]

Modul

• ${\displaystyle p\geq 5,p^{2}\equiv 1\mod {\{2,3,4,6,8,12,24\}}}$
• ${\displaystyle p\geq 7,p^{4}\equiv 1\mod {\{2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,20,24,30,40,48,60,80\}}}$

...

• ${\displaystyle p\geq 23,p^{7920}\equiv 1\mod {\{2-28,30,...\}}}$

...

Verallgemeinerung

In beliebigen kommutativen Ringen mit ${\displaystyle 1}$ werden Primzahlpotenzen durch primäre Ideale und irreduzible Ideale verallgemeinert. In Dedekindringen sind Ideale genau dann primär bzw. irreduzibel, wenn sie von einer Potenz eines Primelementes erzeugt werden.

Sonstiges

Im Film Cube (1997) markieren Primzahlpotenzen diejenigen Räume einer kubischen Labyrinthstruktur, die tödliche Fallen enthalten.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Prime Power. In: MathWorld (englisch).