Polarkreis (Geometrie)

Der Polarkreis (Geometrie) ist ein spezieller Kreis stumpfwinkliger Dreiecke. Er ist definiert als der Kreis, dessen Mittelpunkt dem Höhenschnittpunkt und dessen quadrierter Radius dem Produkt der Streckenlängen vom Höhenschnittpunkt zum Höhenfußpunkt und Höhenschnittpunkt zum Eckpunkt entspricht.

Polarkreis

4 Kreismittelpunkte auf einer Geraden:
Polarkreis (d). Umkreis (e), Feuerbachkreis (t), Umkreis des Tangentendreiecks (s)

Für ein Dreieck ${\displaystyle \triangle ABC}$ mit stumpfem Winkel ${\displaystyle \alpha }$ in ${\displaystyle A}$, Höhenschnittpunkt ${\displaystyle H}$ und Höhenfußpunkten ${\displaystyle F_{a}}$, ${\displaystyle F_{b}}$ und ${\displaystyle F_{c}}$ besitzt der zugehörige Polarkreis den Mittelpunkt ${\displaystyle H}$ und den Radius

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{p}&={\sqrt {|HF_{a}|\cdot |HA|}}\\&={\sqrt {|HF_{b}|\cdot HB|}}\\&={\sqrt {|HF_{c}|\cdot |HC|}}\end{aligned}}}$

Hierbei erhält man die Höhenfußpunkte des Dreiecks durch eine Kreisspiegelung seiner Eckpunkte am Polarkreis und umgekehrt. Der Radius des Polarkreises lässt sich auch über die beiden folgenden Formeln berechnen:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{p}&={\sqrt {-4R^{2}\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )}}\\&={\sqrt {4R^{2}-{\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}\end{aligned}}}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle R}$ den Umkreisradius. Für spitzwinklige Dreiecke wird der Ausdruck unter der Quadratwurzel negativ und für rechtwinklige Dreiecke 0; damit kann man der Formel entnehmen, ob ein stumpfwinkliges Dreieck vorliegt beziehungsweise ein Polarkreis definiert ist.

Der Mittelpunkt des Polarkreises liegt mit den Mittelpunkten von drei weiteren mit dem Dreieck ${\displaystyle \triangle ABC}$ assoziierten Kreisen auf einer gemeinsamen Geraden. Dies sind der Mittelpunkt des Umkreises, der Mittelpunkt des Feuerbachkreises und der Mittelpunkt des Umkreises des Tangentendreiecks von ${\displaystyle \triangle ABC}$. Außerdem gehen der Feuerbachkreis und der Umkreis des Dreiecks auseinander durch eine Spiegelung am Polarkreis hervor.

Literatur

• H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Simson Lines. § 2.5 in Geometry Revisited. In: Math Assoc Amer, Washington DC 1967, S. 136–138
• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 176–181 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry)
• Nathan Altshiller-Court: College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Dover, 2012 (Nachdruck), ISBN 978-0-486-14137-4, S. 182–183

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Polar Circle. In: MathWorld (englisch).
• Eckart Schmidt: Rund um den Polar-Kreis