Diese Fläche wurde 1920 von Georg Scheffers in seinem Lehrbuch der darstellenden Geometrie[5] als Fläche von Peano bezeichnet. Sie wird auch Peano-Sattel genannt.[6][7]
Vermutung: Haben die Schnitte des Graphen einer Funktion mit Ebenen durch die -Achse an der Stelle alle ein lokales Maximum, so hat auch die Funktion an der Stelle ein lokales Maximum.
Die Fläche von Peano zeigt: Diese Vermutung ist falsch. Dafür genügt es zu zeigen, dass für die Funktion gilt:
Jede Schnittkurve der Fläche mit einer Ebene durch die -Achse besitzt im Punkt ein lokales Maximum.
In jeder Umgebung von besitzt sowohl positive als auch negative Werte.
Peano-Fläche
Die Funktion besitzt folgende Eigenschaften:
auf den Parabeln und .
zwischen diesen Parabeln, also für (im Bild rosa) und
sonst (im Bild hellblau).
Schränkt man durch mit ein, so prüft man leicht nach, dass jede solche Einschränkung von im Nullpunkt ein lokales Maximum besitzt.
Die Funktionswerte entlang der Parabel (im Bild rot) sind außerhalb des Nullpunktes positiv(!). hat also im Nullpunkt einen Sattelpunkt. (Für diese Überlegung kann man eine beliebige zwischen den Parabeln verlaufende Kurve verwenden.)
Der übliche Sattelpunkt-Test mit der Determinante der Hessematrix liefert kein Ergebnis, da die Determinante 0 ist.[8]