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In der Mathematik ist die Richtungsableitung einer von mehreren Variablen abhängigen Funktion die momentane Änderungsrate dieser Funktion in einer durch einen Vektor vorgegebenen Richtung.
Eine Verallgemeinerung der Richtungsableitung auf unendlichdimensionale Räume ist das Gâteaux-Differential.
Seien eine offene Menge, und ein Vektor.
Die Richtungsableitung einer Funktion am Punkt in Richtung von ist definiert durch den Limes
falls dieser existiert.
Durch
ist ein Stück einer Parametergerade definiert. Das ist hierbei hinreichend klein gewählt, so dass an jeder Stelle gilt.
Nun ist die Verkettung eine gewöhnliche reelle Funktion und man erhält gemäß
eine äquivalente Definition der Richtungsableitung.
Diese Definition bietet den Vorteil der Zurückführung der Richtungsableitung auf eine gewöhnliche Ableitung, womit keine neue Art von Differentialquotient betrachtet werden muss.
Zudem kann man diese Definition dergestalt konzeptuell erweitern, dass eine beliebige differenzierbare Parameterkurve mit und Tangentialvektor sein darf. Allerdings setzt man hierfür als an der Stelle total differenzierbar voraus, denn dann ist das totale Differential vorhanden und es gilt
gemäß der Kettenregel, was die Gewissheit verschafft, dass der Wert unabhängig von der gewählten Parameterkurve ist. Die Richtungsableitung ist in diesem Fall auch dann erklärt, wenn der Definitionsbereich von eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist und der Vektor aus dem Tangentialraum entstammt, welcher sich der Mannigfaltigkeit am Punkt anschmiegt. Beispielsweise kann die Spur der Parameterkurve bei einer Mannigfaltigkeit mit äußerer Krümmung unmöglich ein Geradenstück sein, weil sie per se innerhalb der Mannigfaltigkeit verlaufen muss.
Die einseitigen Richtungsableitungen von in Richtung sind definiert durch
Die Richtungsableitung in Richtung existiert genau dann, wenn die beiden einseitigen Richtungsableitungen und übereinstimmen. In diesem Fall gilt
Einige Autoren[1] definieren die Richtungsableitung nur in Richtung normierter Vektoren:
Für Richtungen auf der Einheitssphäre stimmen diese beiden Definition überein. Andernfalls unterscheiden sich die beiden Definitionen durch den Faktor . Während die obige Definition für alle Richtungen definiert ist, ist die Ableitung in normierte Richtungen nur für definiert.
Besonders in den Anwendungen kann es sinnvoll sein, mit dem normierten Richtungsvektor zu rechnen; damit ist gewährleistet, dass die Richtungsableitung nur mehr von der Richtung, aber nicht vom Betrag von abhängt.
Statt sind auch die Schreibweisen
üblich, um unter anderem Verwechslungen mit den kovarianten Ableitungen der Differentialgeometrie zu vermeiden.
Ist total differenzierbar, so kann die Richtungsableitung mit Hilfe der totalen Ableitung dargestellt werden (siehe den Abschnitt Eigenschaften). Schreibweisen dafür sind
Im eindimensionalen Fall gibt es nur zwei mögliche Richtungen, nämlich nach links bzw. nach rechts. Die Richtungsableitungen entsprechen also den üblichen einseitigen Ableitungen. Die Ableitungen in beide Richtungen dürfen verschiedene Werte annehmen, das bedeutet anschaulich, dass die Funktion einen Knick haben kann. Ein einfaches Beispiel hierfür ist die Betragsfunktion. Sie ist in zwar nicht differenzierbar, aber die einseitige Richtungsableitung existiert:
und
Der Absolutbetrag ist also gleich seiner einseitigen Richtungsableitung in 0 als Funktion von .
Ist ein glatt berandetes Gebiet mit einem äußeren Normalenvektorfeld und , dann ist
die Normalenableitung von auf dem Rand von . Objekte dieser Art treten beispielsweise bei partiellen Differentialgleichungen mit Neumann-Randbedingungen auf.
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