Glattheit ist eine Weiterleitung auf diesen Artikel. Für den Begriff der Zahlentheorie siehe
Glatte Zahl.
Eine glatte Funktion ist eine mathematische Funktion, die beliebig oft differenzierbar ist. Die Bezeichnung „glatt“ ist durch die Anschauung motiviert: Der Graph einer glatten Funktion hat keine „Ecken“, also Stellen, an denen sie nicht differenzierbar ist. Damit wirkt der Graph überall „besonders glatt“. Zum Beispiel ist jede holomorphe Funktion auch eine glatte Funktion. Außerdem werden glatte Funktionen als Abschneidefunktionen oder als Testfunktionen für Distributionen verwendet.
Verallgemeinerungen
Ohne Schwierigkeiten lässt sich der Begriff der glatten Funktion auf allgemeinere Fälle übertragen. Es heißt, eine Funktion
ist unendlich oft differenzierbar beziehungsweise glatt, wenn alle partiellen Ableitungen unendlich oft differenzierbar sind. Auch werden glatte Funktionen zwischen glatten Mannigfaltigkeiten definiert und untersucht.
- Notwendigerweise sind sämtliche differenzierbaren Ableitungen stetig, da Differenzierbarkeit Stetigkeit impliziert.
- Häufig findet man in mathematischen Betrachtungen den Begriff „hinreichend glatt“. Hiermit ist gemeint, dass die Funktion für ein hinreichend großes
in
liegt, also gerade so oft differenzierbar ist, um den aktuellen Gedankengang durchzuführen. Dies wird so formuliert, um eine zu starke (und nicht sinnvolle) Einschränkung durch „unendlich oft differenzierbar“ zu vermeiden, und zum anderen nicht alle Voraussetzungen durchgehen zu müssen, die in den üblicherweise betrachteten Fällen ohnehin erfüllt sind, oder aber, wenn die genaue Einschränkung aus anderen Gründen keine Rolle spielt: Als theoretisches Argument lässt sich anführen, dass für alle
die
-fach differenzierbaren und auch die unendlich oft differenzierbaren Funktionen und die analytischen Funktionen bezüglich vieler gängiger Metriken dicht in den stetigen liegen. Liegt etwa ein physikalisches Problem vor, in dem kleine Änderungen nicht von Bedeutung sind, gibt es zu einer betrachteten stetigen Funktion beliebig „nahe gelegene“ Funktionen, die die gestellten mathematischen Bedingungen erfüllen; eventuell lässt sich sogar zeigen, dass sich die für bestimmte Funktionen bewiesene Eigenschaft auf einen größeren Raum, in dem sie dicht liegen, überträgt. Ist aus dem Kontext erkennbar, dass nur hinreichend glatte Funktionen betrachtet werden (z. B. durch Angabe des Grades der Differenzierbarkeit), wird auf den Zusatz „hinreichend“ gelegentlich auch verzichtet.
- Zusätzlich bezeichnet man noch mit
die Menge aller analytischen Funktionen, das sind die unendlich oft differenzierbaren Funktionen, deren Taylor-Entwicklung um jeden beliebigen Punkt in einer Umgebung gegen die gegebene Funktion konvergiert. Beachtenswert ist dann, dass jede der folgenden Inklusionen
im reellwertigen Fall echt ist. Im Falle komplexwertiger und komplex differenzierbarer, besser gesagt holomorpher Funktionen, ist jede auf einer offenen Menge komplex differenzierbare Funktion gleich unendlich oft differenzierbar und sogar analytisch. Deswegen bezieht sich die Differenzierbarkeit bei
meist auf Funktionen, deren Definitions- und Zielmenge die reellen Zahlen, Vektorräume oder Mannigfaltigkeiten über den reellen Zahlen oder Ähnliches sind.
- Jeder
und auch
(sowie
) ist ein (unendlichdimensionaler) Vektorraum.
- Alle Polynomfunktionen sind unendlich oft differenzierbar und sogar analytisch.
- Sei
. Die durch
![{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;\;\;x\mapsto {\begin{cases}x^{n+1}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x\geq 0\\-x^{n+1}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x<0\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2d0deed32abad4de34533378ef657205c7de27f)
- definierte Funktion erfüllt
, ist also
-mal stetig differenzierbar. Ihre
-te Ableitung
ist jedoch an der Stelle
nicht stetig differenzierbar, also
.
![{\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;\;\;x\mapsto {\begin{cases}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x\neq 0\\0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x=0\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa184256820426dd6a00041470e43e99120e247f)
- ist eine unendlich oft differenzierbare Funktion, aber keine analytische Funktion, denn die Taylorreihe um den Nullpunkt stimmt in keiner Umgebung um 0 mit der Funktion überein, da alle Ableitungen bei 0 den Wert 0 annehmen.
![{\displaystyle h\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;\;\;x\mapsto {\begin{cases}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x>0\\0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x\leq 0\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6ef2a875eeb81e7b1443b55b2b4579bbc40e094)
- unendlich oft differenzierbar. Aus lokaler Kenntnis einer unendlich oft differenzierbaren Funktion kann man also offensichtlich keine globalen Aussagen herleiten (hier gilt etwa
für alle positiven
, aber dennoch
).
- Der Schwartz-Raum enthält nur glatte Funktionen und ist eine echte Teilmenge der unendlich oft differenzierbaren Funktionen.
- Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Vieweg-Verlag, 7. Aufl. 2006, ISBN 3-528-47231-6.