Mittlere absolute Abweichung

Die mittlere absolute Abweichung (englisch average absolute deviation^[1]) ist ein Streuungsmaß in der deskriptiven Statistik und gibt an, wie stark die Stichprobe um ihren Mittelpunkt streut. Der Mittelpunkt kann dabei das arithmetisches Mittel oder der Median sein.^[2] Im Gegensatz zur empirischen Varianz wird bei der mittleren absoluten Abweichung der Abstand zum betrachteten Mittelpunkt nicht quadratisch gewichtet, sondern nur dem Betrage nach. Große Abweichungen vom Mittelwert fallen daher nicht so stark ins Gewicht.

Mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel

Definition

Für eine Stichprobe ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ mit dem arithmetische Mittel ${\displaystyle {\overline {x}}}$ ist die mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel (englisch mean absolute deviation around the mean) definiert als^[3]

${\displaystyle d_{\overline {x}}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\overline {x}}|}$.

Beispiel

Für die Stichprobe ${\displaystyle 10,9,15,13,16}$ beträgt das arithmetische Mittel

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{5}}(10+9+15+13+16)={\frac {63}{5}}=12{,}6}$.

Damit ergibt sich die mittlere absolute Abweichung als

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{\overline {x}}&={\frac {1}{5}}\left(|10-12{,}6|+|9-12{,}6|+|15-12{,}6|+|13-12{,}6|+|16-12{,}6|\right)\\&={\frac {1}{5}}\left(|-2{,}6|+|-3{,}6|+|2{,}4|+|0{,}4|+|3{,}4|\right)\\&={\frac {1}{5}}\left(2{,}6+3{,}6+2{,}4+0{,}4+3{,}4\right)\\&=2{,}48.\end{aligned}}}$

Mittlere absolute Abweichung vom Median

Definition

Für eine Stichprobe ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$mit Median ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ gibt es zwei Definitionen für die mittlere absolute Abweichung vom Median:

• Entweder ist sie definiert als arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen vom Median (englisch mean absolute deviation around the median):^[4][5][6]

${\displaystyle {\tilde {d}}_{0{,}5}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\tilde {x}}|}$

• oder als Median der absoluten Abweichungen vom Median (auch: Median-Abweichung, englisch median absolute deviation around the median):^[7][8]

${\displaystyle {\tilde {d}}_{Med}={\text{median}}(|x_{i}-{\tilde {x}}|)}$.

Beispiel

Für die Stichprobe ${\displaystyle 10,9,15,13,16}$ vom obigen Beispiel beträgt der Median ${\displaystyle {\tilde {x}}=13}$.

Daraus folgt

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {d}}_{0{,}5}&={\frac {1}{5}}\left(|10-13|+|9-13|+|13-13|+|15-13|+|16-13|\right)\\&={\frac {1}{5}}\left(|-3|+|-4|+0+|2|+|3|\right)\\&={\frac {1}{5}}(3+4+2+3)\\&=2{,}4.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {d}}_{\text{Med}}&={\text{median}}\left(|10-13|,|9-13|,|13-13|,|15-13|,|16-13|\right)\\&={\text{median}}\left(3,4,0,2,3\right)\\&=3.\end{aligned}}}$

Insbesondere unterscheiden sich die beiden Werte für die mittlere absolute Abweichung vom Median beinahe immer von der mittleren absoluten Abweichung vom arithmetischen Mittel.

Eigenschaften

Siehe auch: Empirische Risikominimierung

Betrachtet man die mittlere absolute Abweichung von einem beliebigen Wert ${\displaystyle m}$, also

${\displaystyle A(m)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-m|}$,

so ist ${\displaystyle A(m)}$ minimal, wenn ${\displaystyle m}$ der Median ist.^[9] Ein analoges Resultat gilt auch für die mittlere quadratische Abweichung von einem Wert ${\displaystyle m}$: sie wird genau dann minimal, wenn ${\displaystyle m}$ das arithmetische Mittel ist. In diesem Sinne ist die mittlere absolute Abweichung ein natürliches Streumaß um den Median, ebenso wie die mittlere quadratische Abweichung ein natürliches Streumaß um das arithmetische Mittel ist.

Die mittlere absolute Abweichung vom Median ist ein robustes Streuungsmaß, es ist also deutlich unempfindlicher gegenüber Ausreißern als etwa die Standardabweichung. Dies liegt an der Verwendung des robusten Medians. Besonders relevant ist dies, wenn eine Regel für das Entfernen von Ausreißern aus einem Datensatz gefunden werden soll: Das übliche Verfahren, alle Werte, die mehr als drei Standardabweichungen vom arithmetischen Mittel entfernt sind, zu streichen, ist insofern problematisch, als dass Standardabweichung und Mittel selbst durch Ausreißer verzerrt sein könnten. Ein deutlich unempfindlicheres Verfahren wäre, alle Werte zu streichen, die mehr als das k-fache der Median-Abweichung vom Median abweichen, wobei k ein von der Wahrscheinlichkeitsverteilung abhängiger Faktor ist.^[10]

Siehe auch

• Mittlere quadratische Abweichung
• Varianz (= Mittlere quadratische Abweichung vom arithmetischen Mittel)
• empirische Varianz