Mehrfach orthogonale Polynome sind orthogonale Polynome in einer Variable, welche das Orthogonalitätskriterium bezüglich einer endlichen Familie von Maßen erfüllen. Sie sind nicht zu verwechseln mit den orthogonalen Polynomen in mehreren Variablen, den multivariablen orthogonalen Polynomen. Die Polynome werden in zwei Klassen unterteilt, genannt Typ 1 und Typ 2.
In der Literatur existieren weitere Namen für die mehrfach orthogonalen Polynome, sie werden u. a. auch als -orthogonale Polynome, Hermite-Padé-Polynome oder polyorthogonale Polynome bezeichnet.[1]
Mehrfach orthogonale Polynome
Gegeben sei ein Multiindex und positive Maße über den reellen Zahlen. Wie üblich ist .
MOP vom Typ 1
Die Polynome vom Typ 1 werden als für notiert und als Vektor zusammengefasst , wobei das -te Polynom höchstens vom Grad sein kann. Weiter soll gelten
sowie
Erläuterungen
Wir haben also ein System von Gleichungen für die Koeffizienten der Polynome definiert.
MOP vom Typ 2
Ein Polynom ist vom Typ 2, wenn es monisch ist und vom Grad sowie folgendes Orthogonalitätskriterium erfüllt ist:
Erläuterungen
Schreiben wir aus, erhalten wir folgende Definition der MOP vom Typ 2
Literatur
- Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, ISBN 978-1-107-32598-2 (Kapitel 23).
- Andrei Martinez-Finkelshtein und Walter Van Assche: WHAT IS... A Multiple Orthogonal Polynomial. In: Notices of the American Mathematical Society. Band 63, 2016, S. 1029–1031.
- Walter Van Assche und Els Coussement: Some classical multiple orthogonal polynomials. In: Elsevier (Hrsg.): Journal of Computational and Applied Mathematics. Band 127, Nr. 1-2, 2001, S. 317–347, doi:10.1016/s0377-0427(00)00503-3.
Einzelnachweise
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