Magnetischer Kreis

Ein magnetischer Kreis ist ein geschlossener Pfad eines magnetischen Flusses Φ. Die Betrachtung magnetischer Kreise spielt vor allem in der Konstruktion von Elektromotoren, Transformatoren und Elektromagneten eine wesentliche Rolle. Hierbei sind vor allem Kopplungsprozesse zwischen den einzelnen Komponenten der magnetischen Kreise von Relevanz.

Elemente eines magnetischen Kreises

Bei einem magnetischen Kreis kann man zwischen zwei Signalarten unterscheiden:

• dem magnetischen Fluss und
• der magnetischen Spannung,

und zwischen drei grundlegenden Arten von Bauelementen unterscheiden:

• dem magnetischen Leiter
• dem magnetischen Widerstand mit dem Sonderfall des magnetischen Isolators und
• magnetischen Koppelelementen

Die Darstellung im Artikel folgt in den physikalischen Inhalten den Zusammenhängen, wie sie in^[1] dargestellt wurden. In ihrer Systematik folgt die Darstellung der Autoren Lenk, Pfeifer und Wertschützky.^[2]

Magnetischer Fluss

Spule als Koppelelement zwischen dem magnetischen Kreis und dem elektrischen Stromkreis

Der magnetische Fluss wird gewöhnlich mit einer Spule als Koppelelement in den magnetischen Kreis eingebracht. Seinem Namen entsprechend handelt es sich beim magnetischen Fluss um eine sogenannte „Flusskoordinate“. Bei Verzweigungen des magnetischen Kreises verhält sich der magnetische Fluss entsprechend der kirchhoffschen Knotenpunktgleichung und teilt sich in die einzelnen Teilzweige auf.

Den Zusammenhang zwischen der elektrischen Spannung ${\displaystyle U}$ und dem magnetischen Fluss ${\displaystyle {\mathit {\Phi }}}$ liefert das Induktionsgesetz in der transformierten Darstellung mit komplexen Zahlen:

${\displaystyle {\mathit {\Phi }}={\frac {U}{j\omega N}}}$

Dabei sind j die imaginäre Einheit, ω = 2πf die Kreisfrequenz und N die Windungszahl der Spule.

Magnetische Spannung V_m und magnetische Durchflutung Θ

Die magnetische Spannung ist als Linienintegral über die magnetische Feldstärke H zwischen zwei Punkten P1 und P2 entlang des Weges s definiert.^[3]

${\displaystyle V_{m}:=\int _{P1}^{P2}{\vec {H}}\mathrm {d} {\vec {s}}}$

Die magnetische Spannung wird im Allgemeinen von elektrischen Strömen hervorgerufen und über das Koppelelement Spule in den Magnetkreis eingebracht. Dabei ist jedoch zu berücksichtigen, dass die elektrischen Ströme nicht eine magnetische Spannung zwischen zwei Punkten, sondern eine sogenannte magnetische Umlaufspannung oder magnetische Durchflutung verursachen. Hierbei handelt es sich um eine magnetische Spannung entlang eines geschlossenen Weges. Die magnetische Umlaufspannung bezeichnet man zur Unterscheidung von der magnetischen Spannung mit dem Buchstaben ${\displaystyle {\mathit {\Theta }}}$ und schreibt^[4]

${\displaystyle {\mathit {\Theta }}:=\oint {\vec {H}}\mathrm {d} {\vec {s}}}$

Die Besonderheit beim Vorhandensein einer Umlaufspannung besteht darin, dass die magnetische Spannung zwischen zwei Punkten von dem durchlaufenen Weg abhängt (nichtkonservatives Feld), so dass die kirchhoffsche Maschenregel für magnetische Spannungen im Allgemeinen nicht angewendet werden kann. Im Modell des magnetischen Kreises „rettet“ man die Kirchhoffsche Maschenregel jedoch durch die Vereinbarung, dass bei der Anwendung der Maschenregel keine Integrationswege durch Spulenwicklungen betrachtet werden, und vermeidet dadurch innere Widersprüche der Theorie.

Da die Koppelspule meist über einen magnetisch gut leitfähigen Magnetkern gewickelt wird, kann man zur Berechnung der magnetischen Spannung vereinfachte Annahmen treffen. Denn wenn in dem magnetischen Kern nur eine verschwindende magnetische Feldstärke H herrscht, fällt der relevante Anteil der von den Spulenströmen erzeugten magnetischen Spannung ${\textstyle \oint Hds}$ ausschließlich außerhalb des magnetischen Kernes ab.

Ein Spulenstrom ${\displaystyle I}$, der einen magnetisch gut leitfähigen magnetischen Kern N-mal umwickelt, verursacht unter diesen Umständen außerhalb der Spule eine magnetische Spannung ${\displaystyle V_{m}}$ der Größe

${\displaystyle V_{m}=N\cdot I}$

mit der in der Zeichnung angegebenen Bezugsrichtung.

Magnetische Leiter

Magnetisch gut leitende Verbindungselemente sind das Analogon zur metallischen Verbindungsleitung im elektrischen Stromkreis.

Magnetische Leiter sind dadurch gekennzeichnet, dass das Verhältnis aus der magnetischen Spannung ${\displaystyle V_{m}}$ und dem magnetischen Fluss ${\displaystyle {\mathit {\Phi }}}$ im magnetischen Leitermaterial nahezu gleich Null ist

${\displaystyle {\frac {V_{m}}{\mathit {\Phi }}}\to 0}$

Ein Beispiel für einen magnetischen Leiter ist der Magnetkern bei einem Transformator oder einer Spule. Die entscheidende Bedingung für magnetisch leitfähige Materialien ist ein hoher Wert der relativen Permeabilitätszahl ${\displaystyle \mu _{r}}$. Die relative Permeabilitätszahl gibt die magnetische Leitfähigkeit des jeweiligen Stoffes im Vergleich zum Vakuum an. Typische Werte für ferromagnetische Kernmaterialien in Spulen und Transformatoren liegen im Bereich ${\displaystyle 300<\mu _{r}<10.000}$.

Magnetische Widerstände

Verbindungselemente aus magnetisch schlecht leitenden Materialien wie paramagnetischen oder diamagnetischen Materialien heißen magnetische Widerstände.

Magnetische Widerstände sind dadurch gekennzeichnet, dass das Verhältnis aus der magnetischen Spannung ${\displaystyle V_{m}}$ und dem magnetischen Fluss ${\displaystyle {\mathit {\Phi }}}$ eine endliche reelle Zahl

${\displaystyle R_{\mathrm {mag} }:={\frac {V_{m}}{\mathit {\Phi }}}<\infty }$

ist.^[5]

Sie sind das Analogon zum elektrischen Widerstand. Ein Beispiel für einen magnetischen Widerstand ist eine kurze Unterbrechung des magnetischen Kernmaterials eines Transformators durch einen Luftspalt. Supraleiter haben eine Permeabilitätszahl ${\displaystyle \mu _{r}=0}$ und sind demzufolge ideale magnetische Isolatoren.

Elektrische Spule als magnetisches Koppelelement

Vierpoldarstellung der Kopplung zwischen elektrischem Stromkreis und magnetischem Kreis mit einer Spule

Mithilfe von Koppelelementen kann man die Wirkung von Netzwerken aus anderen physikalischen Gebieten in den Magnetkreis einbringen. Ein besonders häufig verwendetes Koppelelement im Magnetkreis ist die elektrische Spule. Sie verknüpft elektrische Stromkreise mit dem magnetischen Kreis und überträgt Energie zwischen beiden Netzwerken.

Die Kopplungsmatrix zwischen den elektrischen Größen und den magnetischen Größen ergibt sich zu:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{I}\\{U/(j\omega )}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{0}&{1/N}\\{N}&{0}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\mathit {\Phi }}\\{V_{m}}\end{pmatrix}}}$

Hierbei ist ${\displaystyle j}$ die imaginäre Einheit, ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ die Kreisfrequenz und ${\displaystyle N}$ die Windungszahl der Spule. Der komplexe Ausdruck ${\displaystyle U/(j\omega )}$ bezeichnet in zeitabhängiger Darstellung das Zeitintegral der elektrischen Spannung – die sogenannte Spannungszeitfläche.

Da die elektrische Spule

• eine elektrische Potentialgröße (${\displaystyle U/(j\omega )}$) in eine magnetische Flussgröße (${\displaystyle {\mathit {\Phi }}}$) und
• eine elektrische Flussgröße (${\displaystyle I}$) in eine magnetische Potentialgröße (${\displaystyle V_{m}}$)

überführt, sagt man auch, die Spule sei ein gyratorisches Koppelelement. Eine spezielle Beschreibung des Gyrators als rein elektrisches (aktives) Koppelelement befindet sich im zugehörigen Wikipedia-Artikel. Eine allgemeine Beschreibung liefert Küpfmüller^[6] im Rahmen der Vierpoltheorie in Kapitel 5.5, sowie Lenk im Rahmen der elektromechanischen und elektroakustischen Netzwerktheorie.^[2]

Um die Wirkung von elektrischen Bauelementen auf den Magnetkreis zu verstehen, kann man die elektrischen Größen mithilfe der Transformationsgleichungen für die Spule in magnetische Größen umrechnen.

Transformation eines ohmschen Widerstandes

Im Falle eines elektrischen Widerstandes R liegt ein konstantes Verhältnis aus elektrischer Spannung ${\displaystyle U}$ und elektrischem Strom ${\displaystyle I}$ vor.

Mit Hilfe der Transformationsgleichungen ergibt sich an einer Spule mit N Windungen daraus eine magnetische Impedanz von:

${\displaystyle Z_{\mathrm {mag} }={\frac {V_{m}}{\mathit {\Phi }}}={\frac {N\cdot I}{\frac {U}{j\omega N}}}=j\omega {\frac {N^{2}}{R}}}$

Ein elektrischer Kurzschluss R = 0 verursacht demzufolge einen magnetischen Leerlauf, während ein elektrischer Leerlauf einen magnetischen Kurzschluss verursacht. Die physikalische Ursache des magnetischen Kurzschlusses beruht dabei auf der Modellannahme, dass die Spule einen Spulenkörper mit hoher magnetischer Leitfähigkeit umschließt.

Es ist zu beachten, dass ein elektrischer Widerstand an der Spule zu einer magnetischen Impedanz der Form ${\displaystyle j\omega X}$ führt. Der ohmsche Widerstand an der Spule verursacht daher im magnetischen Kreis keinen magnetischen Widerstand, sondern vielmehr eine magnetische Induktivität ${\displaystyle L_{m}}$. Die Autoren Süße, Burger und andere^[7] bezeichnen den elektrischen Widerstand am Koppelelement Spule in etwas allgemeingültigerer Darstellung als Wirbelstromelement und führen aus: Während der elektrische Widerstand ${\displaystyle R}$ ein Energieverbraucher ist, stellt der magnetische Widerstand ${\displaystyle R_{m}}$ einen Energiespeicher dar. Entgegengesetzt dazu ist die Induktivität L ein Energiespeicher, und das Wirbelstromelement (magnetische Induktivität ${\displaystyle L_{m}}$) ein Energieverbraucher.

Transformation einer elektrischen Induktivität

Eine elektrische Induktivität L führt im Magnetkreis zu einem rein reellen magnetischen Widerstand mit positivem Vorzeichen:

${\displaystyle Z_{\mathrm {mag} }={\frac {V_{m}}{\mathit {\Phi }}}={\frac {N\cdot I}{\frac {U}{j\omega N}}}=j\omega {\frac {N^{2}}{j\omega L}}={\frac {N^{2}}{L}}}$

Transformation einer elektrischen Kapazität

Eine elektrische Kapazität C führt im Magnetkreis zu einem rein reellen magnetischen Widerstand mit negativem Vorzeichen:

${\displaystyle Z_{\mathrm {mag} }={\frac {V_{m}}{\mathit {\Phi }}}={\frac {N\cdot I}{\frac {U}{j\omega N}}}=j\omega {\frac {N^{2}}{\frac {1}{j\omega C}}}=-\omega ^{2}N^{2}C}$

Prinzipiell können auch Koppelelemente zu anderen physikalischen Gebieten wie der Mechanik definiert werden. So bewirkt beispielsweise die Änderung ${\displaystyle \Delta {\mathit {\Phi }}}$ des magnetischen Flusses in einem magnetischen Kreis mit Luftspalt eine Kraftänderung ${\displaystyle \Delta F}$ auf die sich gegenüberstehenden Polflächen. In seinen systemtheoretischen Betrachtungen unterscheidet Lenk^[2] drei mechanische Kopplungsprinzipien: das elektromagnetische Prinzip, das elektrodynamische Prinzip und das piezomagnetische Prinzip, für die jeweils eigene Koppelelemente beschrieben werden können.

Analogie zum elektrischen Stromkreis

Die Gesetze des magnetischen Flusses sind analog zu den Gesetzen im elektrischen Stromkreis definiert (siehe auch Analogie elektrischer und magnetischer Größen). Der magnetische Fluss Φ wird hierbei analog zum elektrischen Strom I, die Reluktanz R_m analog zur Resistanz R, und die magnetische Spannung ${\displaystyle V_{m}}$ analog zur elektrischen Spannung U betrachtet.

In Analogie zum elektrischen Widerstand kann man im magnetischen Kreis den sogenannten magnetischen Widerstand

${\displaystyle R_{m}={\frac {V_{m}}{\mathit {\Phi }}}}$

definieren.

In vielen magnetischen Materialien ist der magnetische Widerstand näherungsweise konstant. Man spricht in diesem Zusammenhang von dem ohmschen Gesetz des magnetischen Kreises

${\displaystyle {\frac {V_{m}}{\mathit {\Phi }}}=\mathrm {const} }$.

Die Reluktanz ist über die magnetische Leitfähigkeit und die geometrischen Abmessungen analog zur Resistivität definiert:

${\displaystyle R_{m}={\frac {l}{\mu \,A}}={\frac {1}{G_{m}}}}$

In magnetischen Kreisen, die durch konzentrierte Bauelemente beschrieben werden, gelten auch die kirchhoffschen Gesetze:

• ${\displaystyle \sum {\mathit {\Phi }}=0}$
• ${\displaystyle \sum V_{m}=0}$

Über die kirchhoffschen Gesetze können magnetische Kreise berechnet werden.

Gegenüberstellung einiger elektrischer und magnetischer Größen

elektrische Größe		magnetische Größe
elektrische Spannung	U	magnetische Spannung	${\displaystyle V_{m}}$
elektrischer Strom	I	magnetischer Fluss	Φ
Resistanz (elektrischer Widerstand)	R	Reluktanz (magnetischer Widerstand)	Rm
Konduktivität (elektrische Leitfähigkeit)	γ	Permeabilität (magnetische Leitfähigkeit)	μ
Konduktanz (elektrischer Leitwert)	G	Permeanz (magnetischer Leitwert)	Gm

Beispiele

Magnetischer Kreis mit Luftspalt

Aufbau eines einfachen magnetischen Kreises

Die nebenstehende Abbildung zeigt den Aufbau eines einfachen magnetischen Kreises. Eine Wicklung mit N Windungen wird von einem elektrischen Strom I durchflossen und erzeugt damit die magnetische Flussdichte B₂. Durch

${\displaystyle {\mathit {\Phi }}_{2}=A_{2}\,B_{2}}$

erhält man den magnetischen Fluss im Kern der Wicklung. Der Kern dient der gezielten räumlichen Führung des magnetischen Flusses im magnetischen Kreis und wird aus Materialien mit hoher magnetischer Leitfähigkeit, wie beispielsweise als Ferritkern, ausgeführt.

In einem idealen ferromagnetischen Material ohne Streufluss gilt:

${\displaystyle {\mathit {\Phi }}_{1}={\mathit {\Phi }}_{2}={\mathit {\Phi }}_{3}={\mathit {\Phi }}_{4}={\mathit {\Phi }}_{5}}$

Da es in der Praxis jedoch keine ideal ferromagnetischen Materialien gibt, treten Verluste als Folge des Streuflusses auf. Die genaue Berechnung dieser Streuflüsse ist nur selten analytisch geschlossen zugänglich und sie erfolgt in der Regel über computerunterstützte numerische Näherungsverfahren. In der Praxis werden die Streuverluste an genormten magnetischen Kernen mit Hilfe vorher bestimmter Koeffizienten σ berechnet:

${\displaystyle {\mathit {\Theta }}=N\,I=\sum _{n}V_{2,n}=\sum _{k}{R_{m,k}\,{\mathit {\Phi }}_{k}}=\sum _{k}{R_{m,k}\,{\frac {{\mathit {\Phi }}_{2}}{\sigma _{k}}}}}$

wobei V_2,n die magnetische Spannungen der einzelnen Abschnitte darstellen.

Transformator mit zwei Wicklungen

Transformator als Magnetkreis

Im Modell des Magnetkreises ergibt sich der mit der Spannung ${\displaystyle U_{1}}$ gespeiste Transformator mit der sekundärseitigen elektrischen Last ${\displaystyle R_{el}}$ als ein einfacher Stromkreis, der mit dem magnetischen Fluss

${\displaystyle {\mathit {\Phi }}={\frac {U_{1}}{j\omega N_{1}}}}$

gespeist wird.

Die magnetische Spannung ergibt sich entsprechend dem Bauelementegesetz für die magnetische Impedanz ${\displaystyle Z_{\mathrm {mag} }}$ entsprechend zu:

${\displaystyle V_{m}=Z_{\mathrm {mag} }{\mathit {\Phi }}=j\omega {\frac {N_{2}^{2}}{R_{el}}}\cdot {\frac {U_{1}}{j\omega N_{1}}}}$

Mit Hilfe der Gleichung ${\displaystyle V_{m}=N_{2}\cdot I_{2}}$ kann daraus der elektrische Strom in der Sekundärwicklung berechnet werden

${\displaystyle I_{2}={\frac {N_{2}}{N_{1}}}{\frac {U_{1}}{R_{\mathrm {el} }}}}$,

was den bekannten Transformationsgleichungen für den Transformator entspricht.

Transformator mit zwei parallelen Lastkreisen

Transformator mit zwei parallelen Lastkreisen im Modell des magnetischen Kreises

Die Vorteile bei der Modellierung, die in der Analogie zum elektrischen Stromkreis liegen, ergeben sich erst bei verzweigten Magnetkreisen.

Die Spannungsquelle ${\displaystyle U_{1}}$ erzeugt einen magnetischen Fluss

${\displaystyle {\mathit {\Phi }}_{1}={\frac {U_{1}}{j\omega N_{1}}}}$

der sich entsprechend der Knotenpunktgleichung für den magnetischen Kreis auf die beiden Teilflüsse ${\displaystyle {\mathit {\Phi }}_{2}}$ und ${\displaystyle {\mathit {\Phi }}_{3}}$ aufteilt.

${\displaystyle {\mathit {\Phi }}_{1}={\mathit {\Phi }}_{2}+{\mathit {\Phi }}_{3}}$

Die Aufteilung kann mithilfe der Stromteilerregel aus der Wechselstromrechnung berechnet werden. Für die beiden Teilflüsse ergibt sich:

${\displaystyle {\mathit {\Phi }}_{2}={\frac {Z_{\mathrm {mag3} }}{Z_{\mathrm {mag2} }+Z_{\mathrm {mag3} }}}\cdot {\mathit {\Phi }}_{1}={\frac {Z_{\mathrm {mag3} }}{Z_{\mathrm {mag2} }+Z_{\mathrm {mag3} }}}\cdot {\frac {U_{1}}{j\omega N_{1}}}}$

${\displaystyle {\mathit {\Phi }}_{3}={\frac {Z_{\mathrm {mag2} }}{Z_{\mathrm {mag2} }+Z_{\mathrm {mag3} }}}\cdot {\mathit {\Phi }}_{1}={\frac {Z_{\mathrm {mag2} }}{Z_{\mathrm {mag2} }+Z_{\mathrm {mag3} }}}\cdot {\frac {U_{1}}{j\omega N_{1}}}}$

Setzt man die Bauelementebeziehungen

${\displaystyle Z_{\mathrm {mag2} }=j\omega {\frac {N_{2}^{2}}{R_{2}}}}$ und

${\displaystyle Z_{\mathrm {mag3} }=j\omega {\frac {N_{3}^{2}}{R_{3}}}}$

ein, so ergeben sich daraus die Spannungen und die Ströme in den beiden passiven Wicklungen.

Für die Spannungen gilt:

${\displaystyle U_{2}=j\omega N_{2}{\mathit {\Phi }}_{2}=j\omega N_{2}\cdot {\frac {Z_{\mathrm {mag3} }}{Z_{\mathrm {mag2} }+Z_{\mathrm {mag3} }}}\cdot {\frac {U_{1}}{j\omega N_{1}}}={\frac {N_{2}}{N_{1}}}U_{1}\cdot {\frac {\frac {N_{3}^{2}}{R_{3}}}{{\frac {N_{2}^{2}}{R_{2}}}+{\frac {N_{3}^{2}}{R_{3}}}}}={\frac {N_{2}}{N_{1}}}U_{1}\cdot {\frac {R_{2}N_{3}^{2}}{R_{3}\cdot N_{2}^{2}+R_{2}N_{3}^{2}}}}$

und entsprechend

${\displaystyle U_{3}={\frac {N_{3}}{N_{1}}}U_{1}\cdot {\frac {R_{3}N_{2}^{2}}{R_{3}\cdot N_{2}^{2}+R_{2}N_{3}^{2}}}}$

Aufgrund der Parallelschaltung ergeben sich identische magnetische Spannungen an beiden Teilzweigen:

${\displaystyle V_{m2}=V_{m3}=\Phi _{1}\cdot {\frac {Z_{\mathrm {mag2} }\cdot Z_{\mathrm {mag3} }}{Z_{\mathrm {mag2} }+Z_{\mathrm {mag3} }}}={\frac {U_{1}}{j\omega N_{1}}}\cdot {\frac {j\omega {\frac {N_{2}^{2}}{R_{2}}}\cdot {\frac {N_{3}^{2}}{R_{3}}}}{{\frac {N_{2}^{2}}{R_{2}}}+{\frac {N_{3}^{2}}{R_{3}}}}}={\frac {U_{1}}{N_{1}}}\cdot {\frac {{\frac {N_{2}^{2}}{R_{2}}}\cdot {\frac {N_{3}^{2}}{R_{3}}}}{{\frac {N_{2}^{2}}{R_{2}}}+{\frac {N_{3}^{2}}{R_{3}}}}}={\frac {U_{1}}{N_{1}}}{\frac {N_{2}^{2}N_{3}^{2}}{N_{2}^{2}R_{3}+N_{3}^{2}\cdot R_{2}}}}$

Somit ergibt sich mithilfe von ${\displaystyle V_{m}={\mathit {\Theta }}=N\cdot I}$ für die Ströme:

${\displaystyle I_{2}={\frac {U_{1}}{N_{1}N_{2}}}{\frac {N_{2}^{2}N_{3}^{2}}{N_{2}^{2}R_{3}+N_{3}^{2}\cdot R_{2}}}}$

${\displaystyle I_{3}={\frac {U_{1}}{N_{1}N_{3}}}{\frac {N_{2}^{2}N_{3}^{2}}{N_{2}^{2}R_{3}+N_{3}^{2}\cdot R_{2}}}}$

Literatur

• Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage. Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-8171-1628-4.
• Hans Fischer: Werkstoffe in der Elektrotechnik. 2. Auflage. Carl Hanser Verlag, München / Wien 1982, ISBN 3-446-13553-7.
• Günter Springer: Fachkunde Elektrotechnik. 18. Auflage. Verlag Europa-Lehrmittel, Wuppertal 1989, ISBN 3-8085-3018-9.

Einzelnachweise

1. Siegfried Altmann, Detlef Schlayer: Lehr- und Übungsbuch Elektrotechnik. Hanser-Verlag, 2008, ISBN 978-3-446-41426-6, books.google.de
2. A. Lenk, G. Pfeiffer, R. Werthschützky: Elektromechanische Systeme. Springer, New York 2001, ISBN 3-540-67941-3, books.google.de.
3. Paul Dobrinski, Gunter Krakau, Anselm Vogel: Physik für Ingenieure. 11. Auflage. Teubner-Verlag, 2007, ISBN 978-3-8351-0020-6, S. 304, books.google.de
4. Marlene Marinescu: Elektrische und magnetische Felder – Eine praxisorientierte Einführung. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89696-8, S. 173, books.google.de
5. Marlene Marinescu: Elektrische und magnetische Felder – Eine praxisorientierte Einführung. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89696-8, S. 218, books.google.de
6. Küpfmüller, Mathis, Reibiger: Theoretische Elektrotechnik. Kapitel 5.5 books.google.de
7. Roland Süße, Peter Burger, Ute Diemar, Eberhard Kallenbach: Theoretische Grundlagen der Elektrotechnik. Band 2, Vieweg+Teubner, ISBN 978-3-519-00525-4, S. 484, books.google.de

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