Mach-Zahl

Die Mach-Zahl (auch Machzahl, machsche Zahl oder Mach’sche Zahl, Formelzeichen: ${\displaystyle {\mathit {Ma}}}$) ist eine dimensionslose Zahl der Strömungslehre für das Verhältnis der Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ (bspw. eines Körpers) zur Schallgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$ eines umgebenden Fluids. Ist beispielsweise ein Flugzeug genauso schnell wie der Schall, ist es mit „Mach 1“ unterwegs. Benannt ist die Mach-Zahl nach dem österreichischen Physiker und Philosophen Ernst Mach. Die Bezeichnung wurde 1929 von dem Schweizer Aerodynamiker Jakob Ackeret eingeführt.^[1]

Physikalische Kennzahl
Name	Mach-Zahl
Formelzeichen	${\displaystyle {\mathit {Ma}}}$
Dimension	dimensionslos
Definition	${\displaystyle {\mathit {Ma}}={\frac {v}{c}}}$
${\displaystyle v}$ Strömungsgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$ Schallgeschwindigkeit
Benannt nach	Ernst Mach
Anwendungsbereich	kompressible Strömungen

Definition

Es gilt:

${\displaystyle {\mathit {Ma}}={\frac {v}{c}}}$.

Unter Mach-Zahl=1, umgangssprachlich auch „Mach 1“, versteht man somit eine Strömung mit Schallgeschwindigkeit. Entsprechend lassen sich „Mach 2“ (die doppelte Schallgeschwindigkeit), Mach 3 usw. nicht in genaue Geschwindigkeiten umrechnen, ohne die Bezugsschallgeschwindigkeit zu kennen.

Mittels der Mach-Zahl lassen sich aber Strömungen in verschiedene Bereiche aufteilen, etwa:

• ${\displaystyle {\mathit {Ma}}<0{,}8}$ subsonische Strömung,
• ${\displaystyle 0{,}8<{\mathit {Ma}}<1{,}2}$ transsonische Strömung,
• ${\displaystyle {\mathit {Ma}}>1{,}2}$ supersonische Strömung.

Ab ${\displaystyle {\mathit {Ma}}>5}$ spricht man auch von hypersonischer Strömung.

Diese Bereiche erfordern verschiedene Lösungsansätze, da für die Bereiche jeweils andere physikalische Phänomene auftreten. Beispielsweise treten für ${\displaystyle {\mathit {Ma}}>0{,}3}$ kompressible Effekte in den Strömungen auf (kompressible Strömung), während solche Effekte im Regelfall für ${\displaystyle {\mathit {Ma}}<0{,}3}$ keine Rolle spielen (inkompressible Strömung).

Gase

Meist wird die Mach-Zahl verwendet, wenn das Fluid ein Gas ist. Mit der idealen Gasgleichung kann man die Schallgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$ in Gasen durch die Temperatur ersetzen, was auf den folgenden Ausdruck führt:

${\displaystyle {\mathit {Ma}}={\frac {v}{\sqrt {\kappa \,R_{\mathrm {S} }\,T}}}}$.

Darin sind

• ${\displaystyle \kappa }$ der Isentropenexponent des Fluids unter den gegebenen Randbedingungen,
• ${\displaystyle R_{\mathrm {S} }={\frac {R}{M}}}$ die auf die Molmasse ${\displaystyle M}$ bezogene allgemeine Gaskonstante ${\displaystyle R}$ und
• ${\displaystyle T}$ die Temperatur des betrachteten Gases.

Im Allgemeinen variiert der Isentropenexponent ${\displaystyle \kappa }$ auch für ein spezielles Fluid in Abhängigkeit vom Druck ${\displaystyle p}$ und der Temperatur ${\displaystyle T}$. Für hinreichend kleine Druck- und Temperaturveränderungen kann er als konstant angenähert werden.

Luftfahrt

Eine McDonnell Douglas F/A-18 Hornet im Überschallflug; die Stoßfront des Machschen Kegels ist als Wolkenscheibe sichtbar

Standardatmosphäre, die Werte der Schallgeschwindigkeit in der vorletzten Spalte sind in Knoten angegeben. Umrechnung: 1 Knoten = 1,852 km/h ≈ 0,514444 m/s

In der Luftfahrt wird die Mach-Zahl zur dimensionslosen Angabe der Fluggeschwindigkeit schnell fliegender Flugzeuge verwendet. Sie stellt das Verhältnis der Fluggeschwindigkeit zur Schallgeschwindigkeit in der Umgebungsluft dar. Da die Schallgeschwindigkeit vor allem von der Lufttemperatur, und diese wiederum von der Flughöhe abhängig ist, ist die Anzeige der Mach-Zahl die einzige in jeder Reise-Flughöhe und bei jeder Umgebungstemperatur vergleichbare Aussage. Dies ist insbesondere bei Verkehrsflugzeugen zur Einhaltung der vom Flugzeughersteller vorgegebenen Höchstgeschwindigkeit (M_MO, Mach Maximum Operating Number) betreffend der tatsächlichen Fluggeschwindigkeit (TAS, engl. true airspeed) relativ zur Umgebungsluft von großer Bedeutung. Ein Überschreiten der M_MO führt zum Erreichen der kritischen Mach-Zahl und damit zu Grenzschichtablösungen als Ursache von Strömungsabrissen und einem damit verbundenen Absturzrisiko sowie zu sprunghaft auftretenden extremen mechanischen Belastungen der Flugzeugstruktur. Die Mach-Zahl wird von einem speziellen Fluginstrument, dem Machmeter, angezeigt.

Schallgeschwindigkeit in Luft in Abhängigkeit von der Temperatur

Temperatur	Schallgeschwindigkeit
−50 °C	1080 km/h	≈ 300 m/s
−25 °C	1134 km/h	≈ 315 m/s
00 °C	1193 km/h	≈ 331 m/s
20 °C	1235 km/h	≈ 343 m/s
25 °C	1245 km/h	≈ 346 m/s

Bei einer Temperatur von −50 °C und einem Luftdruck von 26 kPa (nach Standardatmosphäre üblich in ca. 10.000 m Flughöhe) beträgt die Schallgeschwindigkeit rund 300 m/s = 1080 km/h. Ein Passagierflugzeug, das unter diesen Bedingungen mit einer Reisegeschwindigkeit von Mach 0,8 fliegt, hat eine Geschwindigkeit von 240 m/s = 864 km/h.

Siehe auch

• Laval-Zahl
• Cauchy-Zahl (zur Laval-Zahl analoge Kennzahl in Festkörpern)
• Hyperschallgeschwindigkeit
• Hyperschallwaffe

Literatur

• Ernst Götsch: Luftfahrzeugtechnik. Einführung, Grundlagen, Luftfahrzeugkunde. Motorbuch-Verlag, Stuttgart 2003, ISBN 3-613-02006-8.
• Michael Grossrubatscher: Pilots reference guide. 7., revidierte Auflage. Eigenverlag des Autors, München 2008, ISBN 978-3-00-025252-5 (englisch).
• N. Rott: Jakob Ackert and the History of the Mach Number. Annual Review of Fluid Mechanics 17 (1985), S. 1–9.
• N. Rott: J. Ackeret und die Geschichte der Machschen Zahl. Schweizer Ingenieur und Architekt 21 (1983), S. 591–594.

Weblinks

Commons: Mach-Zahl – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Machzahlrechner – Java (englisch)
• Berechner für Schallgeschwindigkeit und Mach-Zahl
• Die Schallgeschwindigkeit und die wichtige Temperatur
• Mach Number NASA Glenn Research Center (englisch)