Möbius-Inversion

Die Möbius-Inversion oder auch Möbiussche Umkehrformel geht auf August Ferdinand Möbius zurück und erlaubt es, eine zahlentheoretische Funktion aus ihrer summatorischen Funktion zu rekonstruieren.

Gegeben seien eine zahlentheoretische Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C} }$

und ihre summatorische Funktion

${\displaystyle F\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C} ,\quad F(n)=\sum _{d\mid n}f(d)}$.

Dann gilt für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)F\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)F(d)}$,

wobei ${\displaystyle \mu }$ die Möbiusfunktion auf ${\displaystyle \mathbb {N} }$ mit Werten in ${\displaystyle \{-1,0,1\}}$ bezeichnet.

Verallgemeinerung

Beim Nachweis der Umkehrformel wird vom Zielbereich ${\displaystyle \mathbb {C} }$ der zahlentheoretischen Funktionen lediglich benutzt, dass ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,0)}$ eine abelsche Gruppe ist. Für multiplikativ notierte abelsche Gruppen ${\displaystyle (G,\cdot ,1)}$ erhält die Möbiussche Umkehrformel also die folgende Form:^[1]

Gegeben seien eine zahlentheoretische Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to G}$

und ihre „summatorische“ Funktion

${\displaystyle F\colon \mathbb {N} \to G,\quad F(n)=\prod _{d\mid n}f(d).}$

Dann gilt für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f(n)=\prod _{d\mid n}F\left({\frac {n}{d}}\right)^{\mu (d)}=\prod _{d\mid n}F(d)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)}=\prod _{de=n}F(d)^{\mu (e)},}$

wobei ${\displaystyle \mu }$ die Möbiusfunktion auf ${\displaystyle \mathbb {N} }$ mit Werten in ${\displaystyle \{-1,0,1\}}$ bezeichnet.

Diese Form liefert mit ${\displaystyle (G,\cdot ,1)=(\mathbb {Q} (X)^{\times },\cdot ,1)}$ für das Kreisteilungspolynom ${\displaystyle \Phi _{n}(X)\in \mathbb {Z} [X]}$ eine explizite Definition, allerdings im (gebrochen-)rationalen Funktionenkörper ${\displaystyle \mathbb {Q} (X)}$, also im Quotientenkörper der Polynomalgebra ${\displaystyle \mathbb {Q} [X]}$. Dass ${\displaystyle \Phi _{n}(X)\in \mathbb {Q} [X]}$ und sogar ${\displaystyle \Phi _{n}(X)\in \mathbb {Z} [X]}$, erfordert weitere, gleichwohl einfache Argumente.^[2]

Literatur

• Helmut Hasse: Zahlentheorie, 2. erweiterte Auflage, Akademie-Verlag, Berlin, 1963, mit 49 Abbildungen.

Einzelnachweise

1. Helmut Hasse, I. § 2 (Teilbarkeit), Seite 21 unten.
2. Helmut Hasse, III. § 27 (Einheitswurzelkörper), Seite 501.