Lucas-Folge

Unter der Lucas-Folge versteht man zwei unterschiedliche Dinge:

• Einerseits die Folge der Lucas-Zahlen

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, … (Folge A000032 in OEIS)

bei der jedes Folgenglied (ab dem dritten) die Summe der beiden vorhergehenden ist.

• Andererseits die beiden allgemeinen Lucas-Folgen ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ und ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$, die abhängig von den Parametern ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$ als diejenigen Folgen definiert sind, die

${\displaystyle U_{0}=0,\quad U_{1}=1}$ bzw. ${\displaystyle V_{0}=2,\quad V_{1}=P}$

erfüllen und den Rekursionsformeln

${\displaystyle U_{n}=PU_{n-1}-QU_{n-2}\,}$ bzw. ${\displaystyle V_{n}=PV_{n-1}-QV_{n-2}\,}$

für ${\displaystyle n>1}$ genügen.

Die Lucas-Folgen sind nach dem französischen Mathematiker Édouard Lucas benannt, der sich als erster mit ihnen beschäftigt hat.

Beispiele

• Sei ${\displaystyle P=1}$ und ${\displaystyle Q=-1}$. Dann ist ${\displaystyle U_{n}(P,Q)=U_{n}(1,-1)}$ die folgende Folge:

${\displaystyle U_{0}=0,U_{1}=1,}$

${\displaystyle U_{2}=PU_{1}-QU_{0}=1\cdot 1-(-1)\cdot 0=1,}$

${\displaystyle U_{3}=PU_{2}-QU_{1}=1\cdot 1-(-1)\cdot 1=2,}$

${\displaystyle U_{4}=PU_{3}-QU_{2}=1\cdot 2-(-1)\cdot 1=3,}$

${\displaystyle U_{5}=PU_{4}-QU_{3}=1\cdot 3-(-1)\cdot 2=5,\ldots }$

Kurz geschrieben erhält man die Fibonacci-Folge:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, … (Folge A000045 in OEIS)

• Sei ${\displaystyle P=1}$ und ${\displaystyle Q=-1}$. Dann ist ${\displaystyle V_{n}(P,Q)=V_{n}(1,-1)}$ die folgende Folge:

${\displaystyle V_{0}=2,V_{1}=P=1,}$

${\displaystyle V_{2}=PV_{1}-QV_{0}=1\cdot 1-(-1)\cdot 2=3,}$

${\displaystyle V_{3}=PV_{2}-QV_{1}=1\cdot 3-(-1)\cdot 1=4,}$

${\displaystyle V_{4}=PV_{3}-QV_{2}=1\cdot 4-(-1)\cdot 3=7,}$

${\displaystyle V_{5}=PV_{4}-QV_{3}=1\cdot 7-(-1)\cdot 4=11,\ldots }$

Kurz geschrieben erhält man eine Folge, die man ebenfalls kurz spezielle Lucas-Folge (oder noch einfacher nur Lucas-Folge) nennt, nämlich:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, 24476, 39603, 64079, 103682, … (Folge A000032 in OEIS)

Die einzelnen Zahlen dieser Folge nennt man Lucas-Zahlen, auf die weiter unten näher eingegangen wird.

• In einer Tabelle zusammengefasst erhält man für gewisse Startwerte für ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$ die Tabelle im Abschnitt Spezialfälle.

Explizite Formeln

Vorbereitung

Zur Bestimmung der Folgenglieder der allgemeinen Lucas-Folge muss vorbereitend die zugeordnete quadratische Gleichung gelöst werden.

Für die expliziten Formeln werden die beiden Lösungen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ der quadratischen Gleichung ${\displaystyle x^{2}-Px+Q=0\ }$ benötigt. Es sind dies

${\displaystyle a={\frac {P}{2}}+{\sqrt {{\frac {P^{2}}{4}}-Q}}={\frac {P+{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}}$

und

${\displaystyle b={\frac {P}{2}}-{\sqrt {{\frac {P^{2}}{4}}-Q}}={\frac {P-{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}}$

Ist ${\displaystyle P^{2}-4Q<0}$, so ist eine der beiden komplexen Wurzeln zu wählen. Welche der beiden Zahlen ${\displaystyle a}$ und welche ${\displaystyle b}$ genannt wird, ist hierbei nicht von Belang.

Die Parameter ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$ und die Werte ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ sind voneinander abhängig, es gilt umgekehrt

${\displaystyle P=a+b,\quad Q=a\cdot b.}$ (Satz von Vieta)

Die Formeln für ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ lassen sich in Bezug auf die Potenzen verallgemeinern. Und zwar gilt:

${\displaystyle a^{n}={\frac {V_{n}+U_{n}{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}\,}$

${\displaystyle b^{n}={\frac {V_{n}-U_{n}{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}\,}$

Die allgemeinen Lucas-Folgen

Falls ${\displaystyle P^{2}-4Q\neq 0}$ gilt, oder äquivalent dazu: falls die Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ verschieden sind, so berechnet sich das Glied der allgemeinen Lucas-Folge ${\displaystyle U_{n}(P,Q)\ }$ nach folgender Formel:

${\displaystyle U_{n}(P,Q)={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}}$

für alle ${\displaystyle n\geq 0}$. Im Spezialfall ${\displaystyle P^{2}-4Q=0}$ gilt stattdessen

${\displaystyle U_{n}(P,Q)=na^{n-1}=n\left({\frac {P}{2}}\right)^{n-1}.}$

Das Glied der allgemeinen Lucas-Folge ${\displaystyle V_{n}(P,Q)\ }$ berechnet sich nach folgender Formel:

${\displaystyle V_{n}(P,Q)=a^{n}+b^{n}\ }$

für alle ${\displaystyle n\geq 0}$

Beziehungen zwischen den Folgegliedern

Eine Auswahl der Beziehungen zwischen den Folgengliedern ist:^[1]

• ${\displaystyle U_{2n}=U_{n}\cdot V_{n}\ }$
• ${\displaystyle V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}\ }$
• ${\displaystyle V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}\ }$
• ${\displaystyle \operatorname {ggT} (U_{m},U_{n})=U_{\operatorname {ggT} (m,n)}}$, falls ${\displaystyle \operatorname {ggT} (P,Q)=1}$
• ${\displaystyle m\mid n\implies U_{m}\mid U_{n}}$; für alle ${\displaystyle U_{m}\neq 1}$

Spezialfälle

Es folgen ein paar Spezialfälle, die zu Folgen führen, die in der Mathematik eine wichtige Rolle spielen und deswegen sogar eigene Namen haben:

${\displaystyle P}$	${\displaystyle Q}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle U(P,Q)}$	${\displaystyle V(P,Q)}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,\ldots }$ (Folge A000045 in OEIS) (Fibonacci-Folge)	${\displaystyle 2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,\ldots }$ (Folge A000032 in OEIS) ((spezielle) Lucas-Folge)
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0,1,1,3,5,11,21,43,85,171,\ldots }$ (Folge A001045 in OEIS) (Jacobsthal-Folge)	${\displaystyle 2,1,5,7,17,31,65,127,257,511,\ldots }$ (Folge A014551 in OEIS) (Jacobsthal-Lucas-Folge)
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 1-{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,\ldots }$ (Folge A000129 in OEIS) (Pell-Folge)	${\displaystyle 2,2,6,14,34,82,198,478,1154,2786,\ldots }$ (Folge A002203 in OEIS) (Companion Pell-Folge, Pell-Lucas-Folge)
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0,1,3,7,15,31,63,127,255,511,\ldots }$ (Folge A000225 in OEIS) (Mersenne-Zahl-Folge)	${\displaystyle 2,3,5,9,17,33,65,129,257,513,\ldots }$ (Folge A000051 in OEIS) (Zahlen der Form ${\displaystyle 2^{n}+1}$ (enthalten die Fermat-Zahlen))
${\displaystyle A}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle {\frac {A+{\sqrt {A^{2}+4}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {A-{\sqrt {A^{2}+4}}}{2}}}$	Fibonacci-Polynome	Lucas-Polynome
${\displaystyle 2A}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle A+{\sqrt {A^{2}-1}}}$	${\displaystyle A-{\sqrt {A^{2}-1}}}$	Tschebyschow-Polynome zweiter Art	Tschebyschow-Polynome erster Art, mit ${\displaystyle 2}$ multipliziert
${\displaystyle A+1}$	${\displaystyle A}$	${\displaystyle A}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle a_{i}=1+a_{i-1}\cdot A}$ mit ${\displaystyle a_{0}=0}$ Repunits zur Basis A	${\displaystyle (A^{n}+1)}$ -Folge

Es gibt aber auch viele weitere Spezialfälle, die zu Folgen führen, die einen OEIS-Eintrag haben und somit in der Mathematik ebenfalls eine gewisse Rolle spielen. Es folgen ein paar Beispiele:

${\displaystyle P}$	${\displaystyle Q}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle U(P,Q)}$	${\displaystyle V(P,Q)}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$			${\displaystyle 0,1,1,0,-1,-1,0,1,1,0,\ldots }$ (Folge A128834 in OEIS)	${\displaystyle 2,1,-1,-2,-1,1,2,1,-1,-2,\ldots }$ (Folge A087204 in OEIS)
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$			${\displaystyle 0,1,1,-1,-3,-1,5,7,-3,-17,\ldots }$ (Folge A107920 in OEIS)	${\displaystyle 2,1,-3,-5,1,11,9,-13,-31,-5,\ldots }$ (Folge A002249 in OEIS)
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\ldots }$ (Folge A001477 in OEIS)	${\displaystyle 2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,\ldots }$ (Folge A007395 in OEIS)
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 2}$			${\displaystyle 0,1,2,2,0,-4,-8,-8,0,16,\ldots }$ (Folge A009545 in OEIS)	${\displaystyle 2,2,0,-4,-8,-8,0,16,32,32,\ldots }$ (Folge A009545 in OEIS)
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$			${\displaystyle 0,1,2,1,-4,-11,-10,13,56,73,\ldots }$ (Folge A088137 in OEIS)	${\displaystyle 2,2,-2,-10,-14,2,46,86,34,-190,\ldots }$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 4}$			${\displaystyle 0,1,2,0,-8,-16,0,64,128,0,\ldots }$ (Folge A088138 in OEIS)	${\displaystyle 2,2,-4,-16,-16,32,128,128,-256,-1024,\ldots }$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 5}$			${\displaystyle 0,1,2,-1,-12,-19,22,139,168,-359,\ldots }$ (Folge A045873 in OEIS)	${\displaystyle 2,2,-6,-22,-14,82,234,58,-1054,-2398,\ldots }$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle -10}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle 0,1,3,19,87,451,2223,11179,55767,279091,\ldots }$ (Folge A015528 in OEIS)	${\displaystyle 2,3,29,117,641,3093,15689,77997,390881,1952613,\ldots }$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle -5}$			${\displaystyle 0,1,3,14,57,241,1008,4229,17727,74326,\ldots }$ (Folge A015523 in OEIS)	${\displaystyle 2,3,19,72,311,1293,5434,22767,95471,400248,\ldots }$ (Folge A072263 in OEIS)
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle -4}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0,1,3,13,51,205,819,3277,13107,52429,\ldots }$ (Folge A015521 in OEIS)	${\displaystyle 2,3,17,63,257,1023,4097,16383,65537,262143,\ldots }$ (Folge A201455 in OEIS)
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle -3}$			${\displaystyle 0,1,3,12,45,171,648,2457,9315,35316,\ldots }$ (Folge A030195 in OEIS)	${\displaystyle 2,3,15,54,207,783,2970,11259,42687,161838,\ldots }$ (Folge A172012 in OEIS)
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle -2}$			${\displaystyle 0,1,3,11,39,139,495,1763,6279,22363,\ldots }$ (Folge A007482 in OEIS)	${\displaystyle 2,3,13,45,161,573,2041,7269,25889,92205,\ldots }$ (Folge A206776 in OEIS)
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle -1}$			${\displaystyle 0,1,3,10,33,109,360,1189,3927,12970,\ldots }$ (Folge A006190 in OEIS)	${\displaystyle 2,3,11,36,119,393,1298,4287,14159,46764,\ldots }$ (Folge A006497 in OEIS)
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 1}$			${\displaystyle 0,1,3,8,21,55,144,377,987,2584,\ldots }$ (Folge A001906 in OEIS)	${\displaystyle 2,3,7,18,47,123,322,843,2207,5778,\ldots }$ (Folge A005248 in OEIS)
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 5}$			${\displaystyle 0,1,3,4,-3,-29,-72,-71,147,796,\ldots }$ (Folge A0190959 in OEIS)	${\displaystyle 2,3,-1,-18,-49,-57,74,507,1151,918,\ldots }$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle -5}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0,1,4,21,104,521,2604,13021,65104,325521,\ldots }$ (Folge A015531 in OEIS)	${\displaystyle 2,4,26,124,626,3124,15626,78124,390626,1953124,\ldots }$ (Folge A087404 in OEIS)
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle -3}$			${\displaystyle 0,1,4,19,88,409,1900,8827,41008,190513,\ldots }$ (Folge A015530 in OEIS)	${\displaystyle 2,4,22,100,466,2164,10054,46708,216994,1008100,\ldots }$ (Folge A080042 in OEIS)
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle -2}$			${\displaystyle 0,1,4,18,80,356,1584,7048,31360,139536,\ldots }$ (Folge A090017 in OEIS)	${\displaystyle 2,4,20,88,392,1744,7760,34528,153632,683584,\ldots }$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle -1}$			${\displaystyle 0,1,4,17,72,305,1292,5473,23184,98209,\ldots }$ (Folge A001076 in OEIS)	${\displaystyle 2,4,18,76,322,1364,5778,24476,103682,439204,\ldots }$ (Folge A014448 in OEIS)
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 1}$			${\displaystyle 0,1,4,15,56,209,780,2911,10864,40545,\ldots }$ (Folge A001353 in OEIS)	${\displaystyle 2,4,14,52,194,724,2702,10084,37634,140452,\ldots }$ (Folge A003500 in OEIS)
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 2}$			${\displaystyle 0,1,4,14,48,164,560,1912,6528,22288,\ldots }$ (Folge A007070 in OEIS)	${\displaystyle 2,4,12,40,136,464,1584,5408,18464,63040,\ldots }$ (Folge A056236 in OEIS)
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0,1,4,13,40,121,364,1093,3280,9841,\ldots }$ (Folge A003462 in OEIS)	${\displaystyle 2,4,10,28,82,244,730,2188,6562,19684,\ldots }$ (Folge A034472 in OEIS)
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 0,1,4,12,32,80,192,448,1024,2304,\ldots }$ (Folge A001787 in OEIS)	${\displaystyle 2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,\ldots }$ (Folge A000079 in OEIS)
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle -6}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0,1,5,31,185,1111,6665,39991,239945,1439671,\ldots }$ (Folge A015540 in OEIS)	${\displaystyle 2,5,37,215,1297,7775,46657,279935,1679617,10077695,\ldots }$ (Folge A0274074 in OEIS)
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle -3}$			${\displaystyle 0,1,5,28,155,859,4760,26377,146165,809956,\ldots }$ (Folge A015536 in OEIS)	${\displaystyle 2,5,31,170,943,5225,28954,160445,889087,4926770,\ldots }$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle -2}$			${\displaystyle 0,1,5,27,145,779,4185,22483,120785,648891,\ldots }$ (Folge A015535 in OEIS)	${\displaystyle 2,5,29,155,833,4475,24041,129155,693857,3727595,\ldots }$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle -1}$			${\displaystyle 0,1,5,26,135,701,3640,18901,98145,509626,\ldots }$ (Folge A052918 in OEIS)	${\displaystyle 2,5,27,140,727,3775,19602,101785,528527,2744420,\ldots }$ (Folge A087130 in OEIS)
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 1}$			${\displaystyle 0,1,5,24,115,551,2640,12649,60605,290376,\ldots }$ (Folge A004254 in OEIS)	${\displaystyle 2,5,23,110,527,2525,12098,57965,277727,1330670,\ldots }$ (Folge A003501 in OEIS)
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0,1,5,21,85,341,1365,5461,21845,87381,\ldots }$ (Folge A002450 in OEIS)	${\displaystyle 2,5,17,65,257,1025,4097,16385,65537,262145,\ldots }$ (Folge A052539 in OEIS)
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle -9}$	${\displaystyle 9}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0,1,8,73,656,5905,53144,478297,4304672,38742049,\ldots }$ (Folge A015577 in OEIS)	${\displaystyle 2,8,82,728,6562,59048,531442,4782968,43046722,387420488,\ldots }$

Die allgemeinen Lucas-Folgen U(P,Q), V(P,Q) und die Primzahlen

Die allgemeinen Lucas-Folgen ${\displaystyle U(P,Q)\,}$ und ${\displaystyle V(P,Q)\,}$ haben für ganzzahlige Parameter ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$ eine spezielle Eigenschaft hinsichtlich der Teilbarkeit durch Primzahlen. Diese Eigenschaft wurde für Verfahren zur Bestimmung der Primalität einer Zahl angewandt (siehe auch Lucas-Lehmer-Test).^[2]

Die Folgen U(P,Q)

Für alle Lucas-Folgen ${\displaystyle U_{n}(P,Q)={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}}$ gilt:

Ist p eine Primzahl, so ist ${\displaystyle U_{p}(P,Q)-\left({\frac {D}{p}}\right)}$ durch p teilbar.

Dabei ist ${\displaystyle \left({\frac {D}{p}}\right)}$ das Legendre-Symbol.

Es existieren auch zusammengesetzte Zahlen, die diese Bedingung erfüllen. Diese Zahlen nennt man Lucas-Pseudoprimzahlen.

Die Folgen V(P,Q)

Für alle Lucas-Folgen ${\displaystyle V_{n}(P,Q)=a^{n}+b^{n}\ }$ gilt:

Ist p eine Primzahl, so ist ${\displaystyle V_{p}(P,Q)-P\ }$ durch ${\displaystyle p}$ teilbar.

Eine zusammengesetzte Zahl, die diese Bedingung (im Fall von ${\displaystyle P>0}$ und ${\displaystyle Q=\pm 1}$) erfüllt, heißt Fibonacci-Pseudoprimzahl.

Besonders interessant ist die Teilbarkeitsbedingung für die Folge ${\displaystyle V_{n}(3,2)=a^{n}+b^{n}=2^{n}+1\ }$. Für diese Folge gilt nämlich:

Wenn ${\displaystyle n}$ eine Primzahl ist, dann gilt: ${\displaystyle n}$ teilt ${\displaystyle 2^{n}+1-3=2^{n}-2\ }$.

Dies ist eine spezielle Form des kleinen Fermatschen Satz.

Analog zu ${\displaystyle a^{p}\equiv a\mod p}$ gilt hier ${\displaystyle V_{p}(a+1,a)\equiv V_{1}(a+1,a)\mod p}$.

Die spezielle Lucas-Folge

Die allgemein als Lucas-Folge bekannte Folge ${\displaystyle L_{n}}$ der Lucas-Zahlen 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, … lässt sich außer durch die Rekursion ${\displaystyle L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2}}$ mit den Anfangswerten ${\displaystyle L_{0}=2}$ und ${\displaystyle L_{1}=1}$ auch wie folgt erzeugen:

1. Wie im allgemeinen Fall für die Folgen ${\displaystyle V_{n}}$ erwähnt, über die Formel von Binet (nach Jacques Philippe Marie Binet):

   ${\displaystyle L_{n}=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}$, da ${\displaystyle a={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ und ${\displaystyle b={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}$ gilt. a ist übrigens die goldene Zahl ${\displaystyle \Phi }$.

2. Eine andere rekursive Formel (mit Gaußklammer):

   ${\displaystyle L_{n+1}=\left\lfloor {\frac {L_{n}(1+{\sqrt {5}})+1}{2}}\right\rfloor }$

3. Als Summe zweier Glieder der Fibonacci-Folge:

   ${\displaystyle L_{n}=f_{n-1}+f_{n+1}\ }$ .

Nach 1) lässt sich alternativ auch ${\displaystyle L_{n}=\Phi ^{n}+(1-\Phi )^{n}}$ schreiben. Da für ${\displaystyle n>1}$ der Betrag von ${\displaystyle (1-\Phi )^{n}}$ stets kleiner 0,5 ist, ergibt sich die Eigenschaft, dass die ${\displaystyle n}$-te (${\displaystyle n>1}$) Lucaszahl dem gerundeten Wert der Golden Zahl zur Potenz ${\displaystyle n}$ entspricht: ${\displaystyle L_{n}=\left\lfloor {\Phi ^{n}+{\frac {1}{2}}}\right\rfloor }$.

Reziproke Reihe

Der Grenzwert der absolut konvergierenden reziproken Reihe spezieller Lucas-Zahlen

• ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{L_{2^{n}}}}}$

ist irrational.^[3]

Lucas-Primzahlen

Eine Lucas-Primzahl ist eine Lucas-Zahl, die prim ist. Die kleinsten Lucas-Primzahlen lauten:

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, 119218851371, 5600748293801, 688846502588399, 32361122672259149, 412670427844921037470771, … (Folge A005479 in OEIS)

Für diese Lucas-Primzahlen ist der Index ${\displaystyle n}$ von ${\displaystyle L_{n}}$ der folgende:

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, 10691, 12251, 13963, 14449, 19469, 35449, 36779, 44507, 51169, 56003, 81671, 89849, 94823, 140057, 148091, 159521, 183089, 193201, 202667, 344293, 387433, 443609, 532277, 574219, 616787, 631181, 637751, 651821, 692147, 901657, 1051849, … (Folge A001606 in OEIS)

Beispiel:

Es ist ${\displaystyle L_{6}=18}$ und ${\displaystyle L_{5}=11}$. Somit ist ${\displaystyle L_{7}=L_{6}+L_{5}=18+11=29\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl. Tatsächlich taucht der Index ${\displaystyle n=7}$ in obiger Liste an der 5. Stelle auf, weil er zur fünftkleinsten Lucas-Primzahl ${\displaystyle L_{7}=29}$ führt.

Es gelten folgende zwei Eigenschaften für Lucas-Primzahlen:

• Wenn ${\displaystyle L_{n}}$ eine Primzahl ist, dann ist der Index ${\displaystyle n}$ entweder gleich ${\displaystyle 0}$ oder eine selbst Primzahl oder eine Zweierpotenz.^[4]
• ${\displaystyle L_{2^{m}}}$ ist eine Primzahl für ${\displaystyle m\in \{1,2,3,4\}}$. Für keine anderen bekannten Werte von ${\displaystyle m}$ erhält man weitere Primzahlen.

Es wird vermutet, dass es unendlich viele Lucas-Primzahlen gibt.^[4]

Zusammenhang zur Artinschen Konstante

Die Artinsche Konstante, benannt nach Emil Artin, ist definiert durch

${\displaystyle C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{p\ {\text{Primzahl}}}\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=\left(1-{\frac {1}{2\cdot 1}}\right)\left(1-{\frac {1}{3\cdot 2}}\right)\left(1-{\frac {1}{5\cdot 4}}\right)\cdots =0{,}3739558136\ldots .}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \textstyle \prod }$ das Produktsymbol, wobei sich das Produkt über alle Primzahlen erstreckt. Die Konstante ${\displaystyle C_{\mathrm {Artin} }}$ taucht in einer tiefen Vermutung von Artin über die asymptotische Dichte von Primzahlen, die Primitivwurzeln zu einer gegebenen Zahl sind, auf.^[5] Eine Primitivwurzel zu einer Primzahl ${\displaystyle p}$ ist eine ganze Zahl, deren Potenzen, bis auf Vielfache von ${\displaystyle p}$, alle Zahlen zwischen ${\displaystyle 1\leq n\leq p-1}$ erzeugen können. Zum Beispiel ist ${\displaystyle 3}$ eine Primitivwurzel bezüglich ${\displaystyle p=5}$, denn die ersten echten Potenzen der ${\displaystyle 3}$ sind ${\displaystyle 3,9,27,81}$ und bis auf Vielfache von ${\displaystyle 5}$ entspricht dies den Zahlen ${\displaystyle 3,4,2,1}$. Die Artinsche Vermutung besagt, grob gesprochen, dass zu festem ${\displaystyle a}$ die Menge der Primzahlen, so dass ${\displaystyle a}$ eine Primitivwurzel zu ${\displaystyle p}$ ist, die asymptotische Dichte ${\displaystyle C_{\mathrm {Artin} }}$ innerhalb aller Primzahlen hat. Also haben ca. 37 % der Primzahlen diese Eigenschaft, unabhängig von ${\displaystyle a}$. Jedoch muss ${\displaystyle a}$ dafür bestimmte Voraussetzungen erfüllen.

Bezeichnet ${\displaystyle L_{n}}$ die ${\displaystyle n}$-te Lucas-Zahl, so gilt die Formel

${\displaystyle C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{n=2}^{\infty }\zeta (n)^{-{\frac {1}{n}}\sum _{k|n}L_{k}\mu \left({\frac {n}{k}}\right)}={\frac {1}{\zeta (2)\zeta (3)\zeta (4)\zeta (5)^{2}\zeta (6)^{2}\zeta (7)^{4}\zeta (8)^{5}\zeta (9)^{8}\cdots }}.}$

Dabei bedeutet ${\displaystyle k|n}$ in der Summe, dass ${\displaystyle k>0}$ die Zahl ${\displaystyle n}$ teilt, und es ist ${\displaystyle \mu }$ die Möbiusfunktion sowie ${\displaystyle \zeta }$ die Riemannsche Zeta-Funktion.^[6]

Siehe auch

• lineare Differenzengleichung

Literatur

• Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. Springer Verlag, 1996

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Lucas Number. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Lucas Sequence. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. Siehe Ribenboim: Die Welt der Primzahlen, S. 44–70.
2. Siehe das schon angegebene Kapitel im Buch von Ribenboim.
3. Paulo Ribenboim: Meine Zahlen, meine Freunde: Glanzlichter der Zahlentheorie. Springer-Lehrbuch, 2009, ISBN 978-3-540-87955-8, S. 323.
4. Chris K. Caldwell: Lucas prime. Prime Pages, abgerufen am 1. März 2020 (englisch).
5. S. R. Finch: Mathematical Constants, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94, Cambridge University Press, 2003, S. 104.
6. S. R. Finch: Mathematical Constants, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94, Cambridge University Press, 2003, S. 105.