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zahlentheoretische Aussage Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Die Legendresche Vermutung (benannt nach dem Mathematiker Adrien-Marie Legendre) ist eine zahlentheoretische Aussage, die besagt, dass es für jede natürliche Zahl mindestens eine Primzahl zwischen und gibt.
Die Vermutung ist eines der Landau-Probleme – benannt nach Edmund Landau, der sie auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Cambridge 1912 zu den vier zur damaligen Zeit nicht attackierbaren Vermutungen über Primzahlen zählte.[1]
Die Vermutung ist unbewiesen. Es konnte allerdings gezeigt werden, dass zwischen und immer eine Primzahl oder eine Semiprimzahl liegt.[2]
Die Legendresche Vermutung stellt eine notwendige Bedingung für die nachfolgende (ebenfalls unbewiesene) Vermutung dar:
Daraus, dass sich in der letzten Zeile einer jeden quadratischen Anordnung mindestens eine Primzahl befinden muss, lässt sich die Legendresche Vermutung folgern.[3]
In Analogie zur Legendreschen Vermutung bewies Albert Ingham für Kubikzahlen: Für jedes hinreichend große liegt zwischen und mindestens eine Primzahl.[4]
Für bestätigen die Primzahlen die Legendresche Vermutung.
Nach der Brocardschen Vermutung (benannt nach Henri Brocard) gibt es für jedes mindestens vier Primzahlen zwischen und Dabei ist die n-te Primzahl (also …). Beispielsweise liegen zwischen und die fünf Primzahlen . Auch diese Vermutung ist unbewiesen.[5]
Der dänische Mathematiker Ludvig Oppermann (1817–1883) vermutete 1882 (Vermutung von Oppermann), dass es für zwischen und mindestens eine Primzahl gibt (und ebenso zwischen und ). Eine andere Formulierung mit der Primzahlfunktion lautet . Aus der Vermutung folgt, dass es mindestens vier Primzahlen zwischen und gibt und mindestens zwei zwischen und (eine zwischen und und eine zwischen und ), sie ist also eine Verschärfung der Legendre-Vermutung. Ebenso folgt, dass der Abstand zweier aufeinanderfolgender Primzahlen ist. Dies ist ebenfalls unbewiesen.[6]
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