Orthogonale Polynome
Da die Laguerre-Polynome für
und/oder
divergent sind, bilden sie keinen Prähilbertraum und keinen Hilbertraum. Deshalb wird eine Gewichtsfunktion eingeführt, welche die Lösung der Differentialgleichung ungeändert lässt und welche dafür sorgt, dass die Laguerre-Polynome quadratintegrierbar werden. Unter diesen Voraussetzungen bilden die Eigenfunktionen
eine Orthonormalbasis im Hilbertraum
der quadratintegrierbaren Funktionen mit der Gewichtsfunktion
. Demzufolge gilt

Hierbei bedeutet
das Kronecker-Delta.
- Beweis
Teil 1: Zunächst wird gezeigt, dass die Laguerre-Polynome mit dem Gewicht
orthogonal sind, für
gilt demnach 
Mit dem Sturm-Liouville-Operator
ergeben sich für die Laguerre-Polynome
folgende Ausgangsgleichungen:
- (1)

und
- (2)
.
Wird Gleichung (1) von links mit
multipliziert und von Gleichung (2), welche ebenfalls von links mit
multipliziert wird, subtrahiert, so ergeben sich die beiden Gleichungen:
- (3)

und
- (4)
.
Zunächst wird Gleichung (3) zusammengefasst. Mit der Produktregel für Ableitungen, der Term
bleibt hierbei unberücksichtigt, ergeben sich folgende Darstellungen

und
.
Auf diese Weise wird erkennbar, dass der zweite Term in beiden Ableitungen gleich ist und bei der Differenzenbildung verschwindet, also:
- (5)

wobei
die Wronski-Determinante der Funktionen
bedeutet.
Zur Berechnung der Wronski-Determinante mittels der Abelschen Identität wird die Differentialgleichung
oder
betrachtet, so dass eine hebbare Singularität bei
entsteht. Die Koeffizientenmatrix des Fundamentalsystems lautet dann
und deren Spur ist
. Somit lautet die Abelsche Identität:
.
Da
und
linear unabhängig sind, ist
– bei genauer Betrachtung ist
– und es ergibt sich folgendes Resultat:
![{\displaystyle {\begin{aligned}W(L_{n},L_{m})(x)&=W(L_{n},L_{m})(0)\exp \left(\int _{0}^{x}{\bigg (}1-{\frac {1}{\xi }}{\bigg )}\mathrm {d} \xi \right)=W(L_{n},L_{m})(0)\exp {\Bigg (}{\bigg [}\xi -\ln \xi {\bigg ]}_{0}^{x}{\Bigg )}\\&=\lim _{\xi \to x}W(L_{n},L_{m})(0)\exp {\Big (}\xi -\ln \xi {\Big )}-\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0)\exp {\Big (}\xi -\ln \xi {\Big )}\\&=\lim _{\xi \to x}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\exp(\xi )}{\exp(\ln \xi )}}-\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\exp(\xi )}{\exp(\ln \xi )}}\\&=\lim _{\xi \to x}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}+\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}\\&=W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x}}+\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}+C.\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/564ae29e9266412c3a404c26fcb0e43f8ed32baf)
Die Integrationskonstante wird
gewählt und Gleichung (5) wird mit
multipliziert, so dass folgt:

Nach Umformen und Trennung der Variablen lautet die Gleichung nun:

Auf beiden Seiten der Gleichung stehen nun eindimensionale Pfaffsche Formen und da
eine konstante Funktion ist, gilt
. Für die Berechnung der verbleibenden Pfaffschen Form ist eine geeignete Parametrisierung
zu wählen. Das Integral lautet nun:
.[1]
Demnach verschwindet das Integral längs dem Intervall
, so dass unter Verwendung von Gleichung (4) gilt:

Diese Bedingung kann nur erfüllt werden, wenn:
.
Teil 2: Im Folgenden wird gezeigt, dass die Laguerre-Polynome mit dem Gewicht
beschränkt sind,[2] für
gilt demnach
, oder abkürzend
.
Für den Beweis wird einerseits die Reihendarstellung
und anderseits die Rodrigues-Formel
benutzt. Es gilt:
.
Für
mit
ergibt sich:
.
Wird nun für
das Laguerre-Polynom zerlegt, so folgt:

Durch diese Zerlegung wird der Grad des Polynoms in der Summe um 1 reduziert und in der Folge gilt
, wie in Teil 1 gezeigt. Es verbleibt somit lediglich der zweite Term, der mit partieller Integration berechnet wird, also:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle L_{n},L_{n}\rangle &={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\\&={\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\bigg [}x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}}{\mathrm {d} x^{(n-1)}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}{\bigg ]}_{0}^{\infty }-n{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{(n-1)}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}}{\mathrm {d} x^{(n-1)}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8905a83663b8b0b8f61eced14ee8409c30ebb852)
Die Stammfunktion wurde mithilfe der Produktregel berechnet und es ergibt sich im Grenzwert
. Dasselbe Resultat wird im Grenzwert
erhalten. Da dieses Ergebnis für alle
partiellen Integrationen gilt, folgt:

Mittels weiterer
-facher partieller Integration oder Integrationstabelle folgt
und somit:
.
Aus Teil 1 und Teil 2 ergibt sich:

