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Teil einer Vollkugel, der von zwei parallelen Ebenen ausgeschnitten wird Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Eine Kugelschicht, auch Kugelscheibe genannt, ist ein Teil einer Kugel, der von zwei parallelen Ebenen ausgeschnitten wird. Der gekrümmte Flächenteil wird Kugelzone genannt.
Für die Berechnung von Volumen, Mantelfläche und Oberfläche einer Kugelschicht gelten die folgenden Formeln. Dabei bezeichnet den Radius der Kugel, die Radien der Begrenzungskreise und die Höhe der Kugelschicht.
Die Höhe kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:
Hierbei gilt das Minuszeichen für eine Kugelschicht ohne Kugelmittelpunkt und das Pluszeichen für eine Kugelschicht mit Kugelmittelpunkt.
Der Radius ergibt sich wie folgt:
Volumen | |
Inhalt der Mantelfläche | |
Oberfläche |
Die Kugelschicht kann man sich entstanden denken als das Kugelsegment mit dem unteren Kreis als Basiskreis, dem das Kugelsegment mit dem oberen Kreis als Basiskreis weggenommen wird. Es sei die Höhe von und die Höhe von . Die Volumina der beiden Kugelsegmente sind
Siehe dazu auch Kugelsegment. Also ist
Mit den Beziehungen (siehe Kugelsegment) ergibt sich
Da ist, folgt die obige Formel:
Für die Mantelfläche ergibt sich analog
Für den Beweis der Beziehung zwischen sei der Abstand der unteren Ebene zum Kugelmittelpunkt . Dann gilt
Setzt man die beiden Gleichungen gleich und löst nach auf, so erhält man
und mit der ersten Gleichung folgt
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