Loading AI tools
Topologie auf der Galoisgruppe Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Die Krulltopologie, nach Wolfgang Krull, ist eine Topologie auf der Galoisgruppe einer nicht notwendigerweise endlichen Körpererweiterung , so dass diese zu einer so genannten topologischen Gruppe wird.
Es sei eine nicht notwendigerweise endliche galoissche Körpererweiterung. Für eine unendliche Erweiterung bedeute dabei galoissch, dass die Erweiterung separabel ist und zu jeder endlichen galoisschen Teilerweiterung auch die normale Hülle von enthält.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Krulltopologie zu definieren:
1. Man definiert die Umgebungsbasis des neutralen Elements als die Menge
der Galoisgruppen für über endliche Teilerweiterungen .[1]
2. Es gibt eine kanonische Bijektion
wobei alle über endlichen Teilerweiterungen durchläuft. Versieht man die endlichen Gruppen mit der diskreten Topologie und den projektiven Limes mit der Limestopologie, so erhält man dieselbe Topologie wie unter 1. Mit dieser Darstellung ist ersichtlich, dass eine proendliche Gruppe ist.
Die Bedeutung der Krulltopologie liegt darin begründet, dass sie es ermöglicht, den Hauptsatz der Galoistheorie auf unendliche Galoiserweiterungen auszudehnen: Ist eine unendliche Galoiserweiterung, so gibt es eine kanonische Bijektion zwischen Teilerweiterungen und abgeschlossenen Untergruppen von : Einer Erweiterung entspricht die Untergruppe
einer Untergruppe die Erweiterung
Eine Teilerweiterung ist genau dann normal (und damit galoissch), wenn ein Normalteiler in ist; die Galoisgruppe ist kanonisch isomorph zum Quotienten .
Es sei ein Körper und ein separabler Abschluss von . Weiter sei ein Vektorraum (über irgendeinem Körper). Versieht man mit der diskreten Topologie, so sind Darstellungen von auf genau dann stetig, wenn sie über einen endlichen Quotienten für eine endliche Erweiterung faktorisieren. Die Kategorie der stetigen Darstellungen von ist also in diesem Sinne die Vereinigung aller Kategorien von Darstellungen der Gruppen für endliche Erweiterungen .
Es sei eine beliebige Körpererweiterung. Die Krulltopologie auf der Gruppe der Körperautomorphismen von , die elementweise festlassen, ist diejenige Topologie, für die die Untergruppen
für endliche Teilmengen eine Umgebungsbasis des Einselementes bilden. wird mit dieser Topologie zu einer topologischen Gruppe.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.