Jordan-Kurve

Jordan-Kurven (bzw. einfache Kurven) sind nach Camille Jordan benannte mathematische Kurven, die als eine homöomorphe Einbettung des Kreises ${\displaystyle S_{1}}$ oder des Intervalls ${\displaystyle I_{1}=[0;1]}$ in einen topologischen Raum definiert sind. (Die homöomorphe Einbettung von ${\displaystyle I_{1}}$ nennt man offene Jordan-Kurve. Die Einbettung von ${\displaystyle S_{1}}$ wird geschlossene Jordan-Kurve genannt.)

Geschlossene Jordankurve

Offene Jordankurve

Kurve, die keine offene Jordankurve ist

Anschaulich heißt das, dass es sich um Kurven handelt, die stetig und schnittpunktfrei sind und einen Anfangs- und einen Endpunkt besitzen. Der Begriff der Jordan-Kurve wird auch zur Definition planarer Graphen verwendet.

Beispiele

Der Einheitskreis mit der Parametrisierung

${\displaystyle \varphi (t)=(\cos(t),\sin(t))}$, ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$

ist eine geschlossene Jordankurve.

Der Weg

${\displaystyle \varphi (t)=(\cos(t),\sin(t))}$ mit ${\displaystyle t\in [0,3\pi ]}$

liefert auch den Einheitskreis, ist aber in dieser Parametrisierung keine Jordankurve, da z. B.

${\displaystyle \varphi (1)=\varphi (2\pi +1)}$.

Das Einheitsquadrat ist eine Jordankurve, die aber mit keiner Parametrisierung glatt ist.

Die Strecke

${\displaystyle \varphi (t)=(t,0)}$ mit ${\displaystyle t\in [0,1]}$

ist eine (offene) Jordankurve.

Siehe auch

• Jordanscher Kurvensatz

Literatur

• Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 2. 7. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 338.
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2. 5. durchgesehene Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 361.

Weblinks

• Jordan Curve in der Encyclopaedia of Mathematics
• Eric W. Weisstein: Jordan Curve. In: MathWorld (englisch).