Glatte Kurve

Eine glatte Kurve ist eine stetig differenzierbare parametrisierte Kurve (hier Weg) mit einer nicht verschwindenden Ableitung. Anschaulich bedeutet dies, dass der Weg beim Durchlaufen des Parameters an keiner Stelle anhält oder abrupt die Richtung wechselt.

glatte Kurve

stückweise glatte Kurve

Eine Kurve im Allgemeinen ist glatt, wenn mindestens ein glatter Weg die Kurve zum Bild hat.

Im Gegensatz zu diesen Definitionen muss eine glatte Abbildung unendlich oft differenzierbar sein.

Formale Definition

Sei ${\displaystyle K}$ eine parametrisierte Kurve bzw. ein Weg im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit Parameterdarstellung ${\displaystyle f:t\mapsto (f_{1}(t),\ldots ,f_{n}(t))}$

• ${\displaystyle K}$ heißt glatt, wenn ${\displaystyle f_{i}}$ für ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ auf ${\displaystyle [a,b]}$ stetig differenzierbar sind und ${\displaystyle (f_{1}^{\prime }(t),\ldots ,f_{n}^{\prime }(t))\neq (0,\ldots ,0)}$ für alle ${\displaystyle t\in [a,b]}$ gilt.
• ${\displaystyle K}$ heißt stückweise glatt, wenn es eine Partition ${\displaystyle P={t_{0},\ldots ,t_{m}}}$ von ${\displaystyle [a,b]}$ gibt, so dass ${\displaystyle K}$ auf jedem Intervall ${\displaystyle [t_{k-1},t_{k}]}$ für ${\displaystyle k=1,\ldots ,m}$ glatt ist.
• ${\displaystyle K}$ heißt ${\displaystyle C^{k}}$-Kurve (bzw. ${\displaystyle C^{\infty }}$-Kurve), wenn die Parameterdarstellung ${\displaystyle k}$-mal (respektive beliebig oft) stetig differenzierbar ist.

Literatur

• Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Eine integrierte Darstellung; Studienbuch für Studierende der Mathematik, Physik und anderer Naturwissenschaften ab 1. Semester. Band 2. 7. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 343.
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2. 5. durchgesehene Auflage. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 365.

Weblinks

• stückweise glatt (piecewise smooth) bei PlanetMath