Hilbertsche Modulfläche

In der Mathematik sind Hilbertsche Modulflächen bestimmte komplexe algebraische Flächen, die man als Quotienten des Produkts zweier hyperbolischer Ebenen erhält.

Konstruktion

Sei ${\displaystyle F}$ ein reell quadratischer Zahlkörper, also ${\displaystyle F=\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})}$ für eine quadratfreie natürliche Zahl ${\displaystyle a}$.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}\subset F}$ der Ganzheitsring von ${\displaystyle F}$, also ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}=\mathbb {Z} \left[x_{a}\right]}$ mit ${\displaystyle x_{a}={\sqrt {a}}}$ falls ${\displaystyle a}$ kongruent 2 oder 3 mod 4 und ${\displaystyle x_{a}={\frac {1+{\sqrt {a}}}{2}}}$ falls ${\displaystyle a}$ kongruent 1 mod 4.

Seien ${\displaystyle \left\{\sigma _{+},\sigma _{-}:{\mathcal {O}}_{F}\rightarrow \mathbb {R} \right\}}$ die Einbettungen von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$, also

${\displaystyle \sigma _{\pm }(m+nx_{a})=m\pm nx_{a}}$ für alle ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$.

Die Abbildungen ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}\sigma _{\pm }(a_{11})&\sigma _{\pm }(a_{12})\\\sigma _{\pm }(a_{21})&\sigma _{\pm }(a_{22})\end{pmatrix}}}$ definieren Einbettungen ${\displaystyle \sigma _{\pm }:SL(2,{\mathcal {O}}_{F})\rightarrow SL(2,\mathbb {R} )}$.

Die Hilbertsche Modulgruppe ist das Bild von ${\displaystyle SL(2,{\mathcal {O}}_{F})}$ unter der Einbettung

${\displaystyle (\sigma _{+},\sigma _{-}):SL(2,{\mathcal {O}}_{F})\rightarrow SL(2,\mathbb {R} )\times SL(2,\mathbb {R} )}$.

Die Gruppe SL(2,R) wirkt auf der hyperbolischen Ebene durch gebrochen-lineare Transformationen. Mittels der Einbettung nach ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )\times SL(2,\mathbb {R} )}$ wirkt ${\displaystyle SL(2,{\mathcal {O}}_{F})}$ dann auf ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}\times \mathbb {H} ^{2}}$, dem Produkt zweier hyperbolischer Ebenen.

Wenn ${\displaystyle \Gamma \subset SL(2,{\mathcal {O}}_{F})}$ eine Untergruppe von endlichem Index ist, dann heißt der Quotientenraum ${\displaystyle \Gamma \backslash (\mathbb {H} ^{2}\times \mathbb {H} ^{2})}$ Hilbertsche Modulfläche und ${\displaystyle \Gamma }$ Hilbertsche Modulgruppe. Hilbertsche Modulgruppen sind Beispiele arithmetischer Gruppen.

Falls eine Hilbertsche Modulgruppe ${\displaystyle \Gamma \subset SL(2,{\mathcal {O}}_{F})}$ torsionsfrei ist, dann ist die Hilbertsche Modulfläche ${\displaystyle \Gamma \backslash (\mathbb {H} ^{2}\times \mathbb {H} ^{2})}$ ein lokal symmetrischer Raum, andernfalls hat die Hilbertsche Modulfläche Singularitäten.

Algebraische Flächen

Eine Klassifikation Hilbertscher Modulflächen vom Standpunkt der Algebraischen Geometrie geben Friedrich Hirzebruch und Don Zagier.^[1]

Zahlentheorie

Die Geometrie der Hilbertschen Modulfläche kodiert Eigenschaften des Körpers ${\displaystyle F}$. Zum Beispiel ist die Anzahl der Enden der Hilbertschen Modulfläche gleich der Klassenzahl von ${\displaystyle F}$.^[2] Das Volumen der Hilbertschen Modulfläche ist ${\displaystyle 2\zeta _{F}(-1)}$, wobei ${\displaystyle \zeta _{F}}$ die Dedekindsche Zeta-Funktion des Körpers ${\displaystyle F}$ bezeichnet.^[3]

Quellen

1. Hirzebruch, Zagier: Classification of Hilbert modular surfaces, in: W. L. Baily, T. Shioda (Hrsg.): Complex analysis and algebraic geometry, Cambridge University Press, 1977, S. 43–77, Online. (PDF; 1,4 MB)
2. Kapitel III.2.7. in: Armand Borel, Lizhen Ji: Compactifications of symmetric and locally symmetric spaces. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2006. ISBN 978-0-8176-3247-2
3. Gerard van der Geer: Hilbert modular surfaces. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 16. Springer-Verlag, Berlin, 1988. ISBN 3-540-17601-2