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Die Hartley-Transformation, abgekürzt HT, ist in der Funktionalanalysis – einem Teilgebiet der Mathematik – eine lineare Integraltransformation mit Bezug zur Fourier-Transformation und wie diese eine Frequenztransformation. Im Gegensatz zur komplexen Fourier-Transformation ist die Hartley-Transformation eine reelle Transformation. Sie ist nach Ralph Hartley benannt, welcher sie 1942 vorstellte.[1]
Die Hartley-Transformation existiert auch in diskreter Form, der diskreten Hartley-Transformation, abgekürzt DHT, welche in der digitalen Signalverarbeitung und der Bildverarbeitung Anwendung findet. Diese Form wurde 1994 von R.N.Bracewell veröffentlicht.[2]
Die Hartley-Transformation einer Funktion f(t) ist definiert als:
mit der Kreisfrequenz ω und der Abkürzung:
welche als „Hartley-Kern“ bezeichnet wird.
In der Literatur existieren auch betreffend den Faktor abweichende Definitionen, welche diesen Faktor auf 1 normieren und bei der inversen Hartley-Transformation der Faktor auftritt.
Die Hartley-Transformation ist nach obiger Definition zu sich selbst invers, womit sie eine involutive Transformation ist:
weicht durch ihren komplexen Kern:
mit der imaginären Einheit von dem rein reellen Kern der Hartley-Transformation ab. Bei entsprechender Wahl der Normalisierungsfaktoren kann die Fourier-Transformation direkt aus der Hartley-Transformation berechnet werden:
Der rote Korrekturfaktor verschwindet hier bei Verwendung der oben genannten, alternativen Definition ohne
Der Real- bzw. Imaginärteil der Fourier-Transformation wird dabei durch die geraden und ungeraden Anteile der Hartley-Transformation gebildet.
Für den „Hartley-Kern“ lassen sich folgende Beziehungen aus den trigonometrischen Funktionen ableiten:
Das Additionstheorem:
und
Die Ableitung ist gegeben als:
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