Givens-Rotation

In der linearen Algebra ist eine Givens-Rotation (nach Wallace Givens) eine Drehung in einer Ebene, die durch zwei Koordinaten-Achsen aufgespannt wird. Manchmal wird dies auch als Jacobi-Rotation (nach Carl Gustav Jacobi) bezeichnet.

Die Anwendung als Methode in der numerischen linearen Algebra zum Beispiel bei der Bestimmung von Eigenwerten und QR-Zerlegung stammt aus den 1950er Jahren, als Givens am Oak Ridge National Laboratory war. Solche Drehungen werden schon im älteren Jacobi-Verfahren (1846) benutzt, praktikabel wurden sie allerdings erst mit dem Aufkommen von Computern.

Beschreibung

Die Transformation lässt sich durch eine orthogonale Matrix der Form

${\displaystyle G(i,k,\theta )={\begin{bmatrix}1&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\0&\cdots &c&\cdots &-s&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &s&\cdots &c&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

beschreiben, wobei ${\displaystyle c=\cos(\theta )}$ und ${\displaystyle s=\sin(\theta )}$ in der ${\displaystyle i}$-ten und ${\displaystyle k}$-ten Zeile und Spalte erscheinen. Eine solche Matrix heißt Givens-Matrix. Formaler ausgedrückt:

${\displaystyle G(i,k,\theta )_{j,l}={\begin{cases}\cos \theta &{\mbox{ falls }}j=i,l=i{\mbox{ oder }}j=k,l=k\\\sin \theta &{\mbox{ falls }}j=i,l=k\\-\sin \theta &{\mbox{ falls }}j=k,l=i\\1&{\mbox{ falls }}j=l,j\neq i,j\neq k\\0&{\mbox{ sonst. }}\end{cases}}}$

Das Matrix-Vektor-Produkt ${\displaystyle G^{T}(i,k,\theta )x}$ stellt eine Drehung (gegen den Uhrzeigersinn) des Vektors ${\displaystyle x}$ um einen Winkel ${\displaystyle \theta }$ in der ${\displaystyle (i,k)}$-Ebene dar, diese wird Givens-Rotation genannt.

Die Hauptanwendung der Givens-Rotation liegt in der numerischen linearen Algebra, um Nulleinträge in Vektoren und Matrizen zu erzeugen. Dieser Effekt kann beispielsweise bei der Berechnung der QR-Zerlegung einer Matrix ausgenutzt werden. Außerdem werden solche Drehmatrizen beim Jacobi-Verfahren benutzt.

QR-Zerlegung mittels Givens-Rotationen

• Das Verfahren ist stabil. Pivotisierung ist nicht erforderlich.
• Flexible Berücksichtigung von schon vorhandenen 0-Einträgen in strukturierten (insbesondere dünnbesetzten) Matrizen.
• Die Idee besteht darin, sukzessiv die Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen auf Null zu setzen, indem man die Matrix von links mit Givens-Rotationen multipliziert. Zunächst bearbeitet man die erste Spalte von oben nach unten und dann nacheinander die anderen Spalten ebenfalls von oben nach unten.
• Man muss also ${\displaystyle {\mathcal {O}}(m\,n)}$ Matrizenmultiplikationen durchführen. Da sich jeweils pro Multiplikation höchstens 2n Werte verändern, beträgt der Aufwand für eine QR-Zerlegung einer vollbesetzten m×n-Matrix insgesamt ${\displaystyle {\mathcal {O}}(m\,n^{2})}$. Für dünn besetzte Matrizen ist der Aufwand allerdings erheblich niedriger.
• Will man den Eintrag an der Matrixposition ${\displaystyle (i,j)}$ zu null transformieren, so setzt man ${\displaystyle c=a_{jj}/\rho }$ und ${\displaystyle s=a_{ij}/\rho }$, wobei ${\displaystyle \rho =\operatorname {sgn}(a_{jj}){\sqrt {a_{jj}^{2}+a_{ij}^{2}}}}$.

Beispiel

${\displaystyle G_{2,4}\cdot G_{1,4}\cdot {\begin{bmatrix}3&5\\0&2\\0&0\\4&5\end{bmatrix}}=G_{2,4}\cdot {\begin{bmatrix}5&7\\0&2\\0&0\\0&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&7\\0&{\sqrt {5}}\\0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$

mit

${\displaystyle G_{1,4}={\begin{bmatrix}{\frac {3}{5}}&0&0&{\frac {4}{5}}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\{\frac {-4}{5}}&0&0&{\frac {3}{5}}\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle G_{2,4}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&{\frac {2}{\sqrt {5}}}&0&-{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0&0&1&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {5}}}&0&{\frac {2}{\sqrt {5}}}\\\end{bmatrix}}}$

Man erhält schließlich die QR-Zerlegung:

${\displaystyle Q=(G_{2,4}\cdot G_{1,4})^{T}=(G_{1,4}^{T}\cdot G_{2,4}^{T})={\begin{bmatrix}{\frac {3}{5}}&{\frac {4}{5{\sqrt {5}}}}&0&-{\frac {8}{5{\sqrt {5}}}}\\0&{\frac {2}{\sqrt {5}}}&0&{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0&0&1&0\\{\frac {4}{5}}&-{\frac {3}{5{\sqrt {5}}}}&0&{\frac {6}{5{\sqrt {5}}}}\end{bmatrix}},\quad R={\begin{bmatrix}5&7\\0&{\sqrt {5}}\\0&0\\0&0\end{bmatrix}},\quad Q\cdot R={\begin{bmatrix}3&5\\0&2\\0&0\\4&5\end{bmatrix}}}$

Algorithmus

Zur Berechnung einer QR-Zerlegung einer Matrix ${\displaystyle A=\left(a_{i,j}\right)_{i,j}\in \mathbb {R} ^{m\times n},m\geq n}$ geht man wie folgt vor.

Drehe die erste Spalte ${\displaystyle a_{-,1}}$ der Matrix ${\displaystyle A}$ auf einen Vektor mit einer Null als letzten Eintrag:

${\displaystyle G_{1,m}A={\begin{bmatrix}*&\cdots &\cdots &*\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\*&\cdots &\cdots &*\\0&*&\cdots &*\end{bmatrix}}}$

wobei ${\displaystyle c,s,\rho }$ für ${\displaystyle G_{1,m}}$ wie oben beschrieben gewählt werden müssen:

${\displaystyle \rho =\operatorname {sgn}(a_{1,1}){\sqrt {a_{1,1}^{2}+a_{m,1}^{2}}},\;c={\frac {a_{1,1}}{\rho }},\;s={\frac {a_{m,1}}{\rho }}.}$

Nun geht man analog mit den nächsten Einträgen der ersten Spalte vor und speichert sich alle Umformungsmatrizen ${\displaystyle G_{1,i},i=2,\ldots ,m}$ in der Matrix ${\displaystyle G_{1}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{1}A=&{\begin{bmatrix}*&\cdots &\cdots &*\\0&*&\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&*&\cdots &*\end{bmatrix}}\\{\text{mit}}\quad G_{1}:=&G_{1,2}\cdot \ldots \cdot G_{1,m}.\end{aligned}}}$

Dabei muss unbedingt darauf geachtet werden, dass sich die einzelnen Einträge ${\displaystyle (c,s,\rho )}$ der Matrizen ${\displaystyle G_{1,i}}$ nicht mehr auf die ursprüngliche Matrix ${\displaystyle A}$ beziehen, sondern auf die schon umgeformte Matrix: ${\displaystyle G_{1,i+1}\cdot \ldots \cdot G_{1,m}A}$.

Nun muss man die folgenden Spalten analog bearbeiten und somit Umformungsmatrizen ${\displaystyle G_{i},i=2,\ldots ,n}$ finden, welche jeweils die ${\displaystyle i}$-te Spalte der Matrix ${\displaystyle G_{i-1}\cdot \ldots \cdot G_{1}A}$ auf einen Vektor mit Nulleinträgen unterhalb des ${\displaystyle i}$-ten Elements transformiert.

Schlussendlich ergibt sich die QR-Zerlegung mittels:

${\displaystyle Q:=G_{1}^{T}\cdot \ldots \cdot G_{n}^{T}\quad {\text{und}}\quad R:=G_{n}\cdot \ldots \cdot G_{1}A.}$

Verallgemeinerung

In drei Dimensionen gibt es 3 Givens-Rotationen:

${\displaystyle R_{X}(\theta )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$

${\displaystyle R_{Y}(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &0&-\sin \theta \\0&1&0\\\sin \theta &0&\cos \theta \end{pmatrix}}}$^{[Anmerkung 1]}

${\displaystyle R_{Z}(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Diese 3 zusammengesetzten Givens-Rotationen können jede Drehmatrix nach dem Davenport's chained rotation theorem erzeugen. Dies bedeutet, dass sie die Standardbasis des Vektorraums in jede andere Basis im Vektorraum umwandeln können.

Literatur

• Gene H. Golub, Charles F. van Loan: Matrix Computations. 2nd Edition. The Johns Hopkins University Press, 1989.
• Martin Hermann: Numerische Mathematik, Band 1: Algebraische Probleme. 4., überarbeitete und erweiterte Auflage, Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston 2020, ISBN 978-3-11-065665-7.
• W. Dahmen, A. Reusken: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006, ISBN 3-540-25544-3

Anmerkungen

1. Die ${\displaystyle R_{Y}(\theta )}$Matrix direkt unterhalb ist keine Givens-Rotation. Die ${\displaystyle R_{Y}(\theta )}$ -Matrix direkt unterhalb befolgt die Rechte-Hand-Regel und wird üblicherweise in der Computergrafik verwendet. Eine Givens-Rotation ist jedoch einfach eine Matrix gemäß Definition im Abschnitt Beschreibung oben und befolgt nicht zwingend die Rechte-Hand-Regel. Die Matrix unterhalb zeigt tatsächlich die Givens-Rotation um einen Winkel -${\displaystyle \theta }$.

   ${\displaystyle R_{Y}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}}$