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Die Fritz-John-Bedingungen (abgekürzt FJ-Bedingungen) sind in der Mathematik ein notwendiges Optimalitätskriterium erster Ordnung in der nichtlinearen Optimierung. Sie sind eine Verallgemeinerung der Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen und kommen im Gegensatz zu diesen ohne Regularitätsbedingungen aus. Benannt sind sie nach dem US-amerikanischen Mathematiker deutscher Abstammung, Fritz John.[1]
Die Fritz-John-Bedingungen ermöglichen Aussagen über ein Optimierungsproblem der Form
unter den Nebenbedingungen
Dabei sind alle betrachteten Funktionen stetig differenzierbar und ist eine nichtleere Teilmenge des .
Ein Punkt heißt Fritz-John-Punkt oder kurz FJ-Punkt des obigen Optimierungsproblems, wenn er die folgenden Bedingungen erfüllt:
Diese Bedingungen werden die Fritz-John-Bedingungen oder kurz FJ-Bedingungen genannt.
Ist der Punkt lokales Minimum des Optimierungsproblems, so gibt es , so dass ein FJ-Punkt ist und ungleich dem Nullvektor ist.
Somit sind die FJ-Bedingungen ein notwendiges Optimalitätskriterium erster Ordnung.
Für entsprechen die FJ-Bedingungen genau den Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen. Ist ein FJ-Punkt, so ist auch mit ein FJ-Punkt. Somit kann man davon ausgehen, dass wenn ist, bereits ein KKT-Punkt vorliegt, dieser wird durch Reskalierung mit erzeugt. Dann ist der zu einem FJ-Punkt gehörende KKT-Punkt. Umgekehrt lassen sich nun die constraint qualifications der KKT-Bedingungen so interpretieren, dass sie für die FJ-Bedingungen garantieren.
Betrachte als Beispiel das Optimierungsproblem
mit Restriktionsmenge
Minimum des Problems ist der Punkt . Daher existiert ein FJ-Punkt , so dass
Daraus folgt direkt, dass für einen FJ-Punkt gilt.
Insbesondere gibt es keinen dazugehörigen KKT-Punkt. Setzt man , so ist das Gleichungssystem der Gradienten nicht lösbar. Tatsächlich ist im Punkt keine Regularitätsbedingung erfüllt, speziell nicht die allgemeinste, die Abadie CQ.
Betrachte als Beispiel das Optimierungsproblem
mit Restriktionsmenge
Die Restriktionsmenge ist der Einheitskreis, bei dem am ersten Quadranten die Krümmung des Kreises entfernt wurde. Minimum des Problems ist der Punkt . Daher gibt es einen FJ-Punkt , so dass
gilt. Eine Lösung wäre , was zu dem FJ-Punkt führt. Eine Reskalierung mit führt zu dem KKT-Punkt . Tatsächlich ist im Punkt auch die LICQ erfüllt, deshalb gelten hier auch die KKT-Bedingungen.
Für konvexe Optimierungsprobleme, bei denen die Funktionen nicht stetig differenzierbar sind, gibt es die Sattelpunktkriterien der Lagrange-Funktion. Sind alle beteiligten Funktionen stetig differenzierbar, so sind sie strukturell ähnlich den Fritz-John-Bedingungen und äquivalent zu den KKT-Bedingungen.
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