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mathematischer Satz Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Die Formel von Wald oder Waldsche Identität ist in der Stochastik eine Gleichung, mit deren Hilfe der Erwartungswert von Summen von Zufallsvariablen mit einer zufälligen Anzahl von Summanden berechnet werden kann. Sie wurde 1944 in einer Arbeit des Mathematikers Abraham Wald bewiesen.[1]
Es sei eine Folge unabhängiger, identisch verteilter, integrierbarer Zufallsvariablen und eine -wertige Zufallsvariable mit , die von der Folge unabhängig ist. Dann gilt[2]
Weil unabhängig von der Folge ist, folgt durch Bedingen auf den Wert von :
also
Durch Anwenden des Erwartungswerts auf diese Gleichung erhält man schließlich
Sind die alle wertig, so kann der Beweis auch elementar über wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen mittels der Kettenregel erfolgen.
Es sei nun eine Folge identisch verteilter integrierbarer Zufallsvariablen, die an eine Filtrierung adaptiert ist, das heißt für alle ist -messbar. Wenn von unabhängig ist für alle und eine integrierbare Stoppzeit bezüglich ist, so gilt ebenfalls die Formel von Wald:[3]
Ähnliche Aussagen über die Varianz von zusammengesetzten Verteilungen lassen sich mit der Blackwell-Girshick-Gleichung treffen.
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