Faserung

Der Begriff der Faserung verallgemeinert den Begriff eines Faserbündels und spielt in der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik eine wichtige Rolle.

Anwendung finden Faserungen zum Beispiel in Postnikow-Systemen oder der Obstruktionstheorie.

In diesem Artikel sind alle Abbildungen stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen.

Definitionen

Homotopie-Hochhebungseigenschaft

Eine Abbildung ${\displaystyle p\colon E\to B}$ erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für einen Raum ${\displaystyle X}$, falls:

• für jede Homotopie ${\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to B}$ und
• für jede Abbildung (auch Lift genannt) ${\displaystyle {\tilde {h}}_{0}\colon X\to E,}$ die ${\displaystyle h_{0}=h|_{X\times {0}}}$ hochhebt (bzw. liftet) (d. h. ${\displaystyle h_{0}=p\circ {\tilde {h}}_{0}}$),

existiert eine Homotopie ${\displaystyle {\tilde {h}}\colon X\times [0,1]\to E,}$ die ${\displaystyle h}$ hochhebt (d. h. ${\displaystyle h=p\circ {\tilde {h}}}$) mit ${\displaystyle {\tilde {h}}_{0}={\tilde {h}}|_{X\times {0}}.}$

Das folgende kommutative Diagramm zeigt die Situation:${\displaystyle ^{[4]S.66}}$

Faserung

Eine Faserung (oder auch Hurewicz-Faserung) ist eine Abbildung ${\displaystyle p\colon E\to B,}$ welche die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle Räume ${\displaystyle X}$ erfüllt. Der Raum ${\displaystyle B}$ wird Basisraum und der Raum ${\displaystyle E}$ wird Totalraum genannt. Als Faser über ${\displaystyle b\in B}$ bezeichnet man den Unterraum ${\displaystyle p^{-1}(b)=F_{b}\subseteq E.}$${\displaystyle ^{[4]S.66}}$

Serre-Faserung

Eine Serre-Faserung (auch schwache Faserung genannt) ist eine Abbildung ${\displaystyle p\colon E\to B,}$ welche die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle CW-Komplexe erfüllt.${\displaystyle ^{[1]S.375-376}}$

Jede Hurewicz-Faserung ist eine Serre-Faserung.

Quasifaserung

Eine Abbildung ${\displaystyle p\colon E\to B}$ wird Quasifaserung genannt, falls für jedes ${\displaystyle b\in B,}$ ${\displaystyle e\in p^{-1}(b)}$ and ${\displaystyle i\geq 0}$ gilt, dass die induzierte Abbildung ${\displaystyle p_{*}\colon \pi _{i}(E,p^{-1}(b),e)\to \pi _{i}(B,b)}$ ein Isomorphismus ist.

Jede Serre-Faserung ist eine Quasifaserung.${\displaystyle ^{[5]S.241-242}}$

Beispiele

• Die Projektion auf den ersten Faktor ${\displaystyle p\colon B\times F\to B}$ ist eine Faserung.
• Jede Überlagerung ${\displaystyle p\colon E\to B}$ erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für jeden Raum ${\displaystyle X.}$ Speziell gibt es für jede Homotopie ${\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to B}$ und jeden Lift ${\displaystyle {\tilde {h}}_{0}\colon X\to E}$ einen eindeutig definierten Lift ${\displaystyle {\tilde {h}}\colon X\to B}$ mit ${\displaystyle p\circ {\tilde {h}}=h.}$${\displaystyle ^{[2]S.159}}$${\displaystyle ^{[3]S.50}}$
• Faserbündel ${\displaystyle p\colon E\to B}$ erfüllen die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle CW-Komplexe.${\displaystyle ^{[1]S.379}}$
• Ein Faserbündel mit parakompaktem Hausdorff Basisraum erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle Räume.${\displaystyle ^{[1]S.379}}$
• Eine Faserung, welche kein Faserbündel ist, ist die von der Inklusion ${\displaystyle i\colon \partial I^{k}\to I^{k}}$ induzierte Abbildung ${\displaystyle i^{*}\colon X^{I^{k}}\to X^{\partial I^{k}},}$ wobei ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum und ${\displaystyle X^{A}=\{f\colon A\to X\}}$ der Raum aller stetigen Abbildungen mit der Kompakt-Offen-Topologie ist.${\displaystyle ^{[2]S.198}}$
• Die Hopf-Faserung ${\displaystyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}}$ ist ein nicht triviales Faserbündel und speziell eine Serre-Faserung.

Grundlegende Konzepte

Faser-Homotopieäquivalenz

Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon E_{1}\to E_{2}}$ zwischen Totalräumen von zwei Faserungen ${\displaystyle p_{1}\colon E_{1}\to B}$ und ${\displaystyle p_{2}\colon E_{2}\to B}$ mit gleichem Basisraum ist ein Faserungs-Homomorphismus, falls das Diagramm kommutiert:

Die Abbildung ${\displaystyle f}$ ist eine Faser-Homotopieäquivalenz, falls zusätzlich ein Faserungs-Homomorphismus ${\displaystyle g\colon E_{2}\to E_{1}}$ existiert, sodass die Verknüpfungen ${\displaystyle f\circ g}$ bzw. ${\displaystyle g\circ f}$ homotop, durch Faserungs-Homomorphismen, zu den Identitäten ${\displaystyle Id_{E_{2}}}$ bzw. ${\displaystyle Id_{E_{1}}}$sind.${\displaystyle ^{[1]S.405-406}}$

Pullback Faserung

Gegeben seien eine Faserung ${\displaystyle p\colon E\to B}$ und eine Abbildung ${\displaystyle f\colon A\to B.}$ Die Abbildung ${\displaystyle p_{f}\colon f^{*}(E)\to A}$ ist eine Faserung, wobei ${\displaystyle f^{*}(E)=\{(a,e)\in A\times E|f(a)=p(e)\}}$ der Pullback ist und die Projektionen von ${\displaystyle f^{*}(E)}$ auf ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle E}$ das kommutative Diagramm liefern:

Die Faserung ${\displaystyle p_{f}}$ wird Pullback Faserung oder auch induzierte Faserung genannt.${\displaystyle ^{[1]S.405-406}}$

Wegeraum-Faserung

Mit der Wegeraumkonstruktion kann jede stetige Abbildung zu einer Faserung erweitert werden, indem man den Definitionsbereich der Abbildung zu einem homotopieäquivalenten Raum vergrößert. Diese Faserung wird dann Wegeraum-Faserung genannt.

Der Totalraum ${\displaystyle E_{f}}$ der Wegeraum-Faserung für eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon A\to B}$ zwischen topologischen Räumen besteht aus Paaren ${\displaystyle (a,\gamma )}$ mit ${\displaystyle a\in A}$ und Wegen ${\displaystyle \gamma \colon I\to B}$ mit Startpunkt ${\displaystyle \gamma (0)=f(a)~}$, wobei ${\displaystyle I=[0,1]}$ das Einheitsintervall ist. Der Raum ${\displaystyle E_{f}=\{(a,\gamma )\in A\times B^{I}|\gamma (0)=f(a)\}}$ trägt die Teilraumtopologie von ${\displaystyle A\times B^{I},}$ wobei ${\displaystyle B^{I}}$ den Raum aller Abbildungen ${\displaystyle I\to B}$ beschreibt und die Kompakt-Offen-Topologie trägt.

Die Wegeraum-Faserung ist durch die Abbildung ${\displaystyle p\colon E_{f}\to B}$ mit der Abbildungsvorschrift ${\displaystyle p(a,\gamma )=\gamma (1)}$ gegeben. Die Faser ${\displaystyle F_{f}}$ wird auch Homotopie-Faser von ${\displaystyle f}$ genannt und besteht aus den Paaren ${\displaystyle (a,\gamma )}$ mit ${\displaystyle a\in A}$ und Wegen ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to B,}$ wobei ${\displaystyle \gamma (0)=f(a)}$ und ${\displaystyle \gamma (1)=b_{0}\in B}$ gilt.

Für den Spezialfall der Inklusion des Basispunktes ${\displaystyle i\colon b_{0}\to B,}$ ergibt sich ein wichtiges Beispiel der Wegeraum-Faserung. Der Totalraum ${\displaystyle E_{i}}$ besteht aus allen Wegen in ${\displaystyle B,}$ die am Punkt ${\displaystyle b_{0}}$ starten. Dieser Raum wird mit ${\displaystyle PB}$ gekennzeichnet und Wegeraum genannt. Die Wege-Faserung ${\displaystyle p\colon PB\to B}$ ordnet jedem Weg seinen Endpunkt zu, weshalb die Faser ${\displaystyle p^{-1}(b_{0})}$ aus allen geschlossenen Wegen besteht. Die Faser wird mit ${\displaystyle \Omega B}$ gekennzeichnet und Schleifenraum genannt.${\displaystyle ^{[1]S.407-408}}$

Eigenschaften

• Die Fasern ${\displaystyle p^{-1}(b)}$ über ${\displaystyle b\in B}$ sind für die einzelnen Wegzusammenhangskomponenten von ${\displaystyle B}$ homotopieäquivalent.${\displaystyle ^{[1]S.405}}$
• Für eine Homotopie ${\displaystyle f\colon [0,1]\times A\to B}$ sind die Pullback Faserungen ${\displaystyle f_{0}^{*}(E)\to A}$ und ${\displaystyle f_{1}^{*}(E)\to A}$ Faser homotopieäquivalent.${\displaystyle ^{[1]S.406}}$
• Ist der Basisraum ${\displaystyle B}$ zusammenziehbar, dann ist ${\displaystyle p\colon E\to B}$ Faser homotopieäquivalent zu einer Produkt Faserung ${\displaystyle B\times F\to B.}$${\displaystyle ^{[1]S.406}}$
• Die Wegeraum-Faserung von ${\displaystyle p}$ ist sich selbst sehr ähnlich. Genauer gilt: Die Inklusion ${\displaystyle E\hookrightarrow E_{p}}$ ist eine Faser-Homotopieäquivalenz.${\displaystyle ^{[1]S.408}}$
• Ist der Totalraum ${\displaystyle E}$ zusammenziehbar, dann gibt es eine schwache Homotopieäquivalenz ${\displaystyle F\to \Omega B.}$${\displaystyle ^{[1]S.408}}$

Puppe-Sequenz

Für eine Faserung ${\displaystyle p\colon E\to B}$ mit Faser ${\displaystyle F}$ und Basispunkt ${\displaystyle b_{0}\in B}$ ist die Inklusion ${\displaystyle F\hookrightarrow F_{p}}$ der Faser in die Homotopie-Faser eine Homotopieäquivalenz. Die Abbildung ${\displaystyle i\colon F_{p}\to E}$ mit ${\displaystyle i(e,\gamma )=e,}$ wobei ${\displaystyle e\in E}$ und ${\displaystyle \gamma \colon I\to B}$ ein Weg von ${\displaystyle p(e)}$ nach ${\displaystyle b_{0}}$ im Basisraum sind, ist eine Faserung. Sie ist die Pullback Faserung der Wege-Faserung ${\displaystyle PB\to B.}$ Dieses Vorgehen kann nun wieder auf die Faserung ${\displaystyle i}$ angewandt und iteriert werden. Dies führt zu einer langen Sequenz:

${\displaystyle \cdots \to F_{j}\to F_{i}\xrightarrow {j} F_{p}\xrightarrow {i} E\xrightarrow {p} B.}$

Die Faser von ${\displaystyle i}$ über einem Punkt ${\displaystyle e_{0}\in p^{-1}(b_{0})}$ besteht aus genau den Paaren ${\displaystyle (e_{0},\gamma )}$ mit geschlossenen Wegen ${\displaystyle \gamma }$ und Startpunkt ${\displaystyle b_{0}}$, also dem Schleifenraum ${\displaystyle \Omega B.}$ Die Inklusion ${\displaystyle \Omega B\to F}$ ist eine Homotopieäquivalenz und durch Iteration ergibt sich die Sequenz:

${\displaystyle \cdots \Omega ^{2}B\to \Omega F\to \Omega E\to \Omega B\to F\to E\to B.}$

Durch die Dualität von Faserung und Kofaserung existiert auch eine Sequenz von Kofaserungen. Diese beiden Sequenzen sind unter dem Namen Puppe-Sequenzen oder auch Sequenz von Faserungen bzw. Kofaserungen bekannt.${\displaystyle ^{[1]S.407-409}}$

Hauptfaserung

Eine Faserung ${\displaystyle p\colon E\to B}$ mit Faser ${\displaystyle F}$ wird Hauptfaserung genannt, falls ein kommutatives Diagramm existiert:

Die untere Zeile ist eine Sequenz von Faserungen und die vertikalen Abbildungen sind schwache Homotopieäquivalenzen. Hauptfaserungen spielen eine wichtige Rolle bei Postnikow-Türmen.${\displaystyle ^{[1]p.412}}$

Lange exakte Homotopiesequenz

Für eine Serre-Faserung ${\displaystyle p\colon E\to B}$ existiert eine lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen. Für Basispunkte ${\displaystyle b_{0}\in B}$ und ${\displaystyle x_{0}\in F=p^{-1}(b_{0})}$ ist diese gegeben durch:

${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(F,x_{0})\rightarrow \cdots \rightarrow \pi _{0}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{0}(E,x_{0}).}$

Die Homomorphismen ${\displaystyle \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})}$ und ${\displaystyle \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})}$ sind die induzierten Homomorphismen der Inklusion ${\displaystyle i\colon F\hookrightarrow E}$ und der Projektion ${\displaystyle p\colon E\rightarrow B.}$${\displaystyle ^{[1]S.376}}$

Hopf-Faserungen

Unter den Hopf-Faserungen versteht man eine Familie von Faserbündeln, deren Faser, Totalraum und Basisraum Sphären sind:

${\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1},}$

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2},}$

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4},}$

${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}.}$

Die lange exakte Homotopiesequenz der Hopf-Faserung ${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}}$ liefert:

${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{n}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{2},b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \cdots \rightarrow \pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{2},b_{0}).}$

Die Sequenz zerfällt in kurze exakte Sequenzen, da die Faser ${\displaystyle S^{1}}$ in ${\displaystyle S^{3}}$ zu einem Punkt zusammengezogen werden kann:

${\displaystyle 0\rightarrow \pi _{i}(S^{3})\rightarrow \pi _{i}(S^{2})\rightarrow \pi _{i-1}(S^{1})\rightarrow 0.}$

Diese kurze exakte Sequenz zerfällt wegen des Einhängungshomomorphismus ${\displaystyle \phi \colon \pi _{i-1}(S^{1})\to \pi _{i}(S^{2})~}$und es gibt Isomorphismen:

${\displaystyle \pi _{i}(S^{2})\cong \pi _{i}(S^{3})\oplus \pi _{i-1}(S^{1}).}$

Die Homotopiegruppen ${\displaystyle \pi _{i-1}(S^{1})}$ sind für ${\displaystyle i\geq 3}$ trivial, weshalb es Isomorphismen zwischen ${\displaystyle \pi _{i}(S^{2})}$ und ${\displaystyle \pi _{i}(S^{3})}$ ab ${\displaystyle i=3}$ gibt. Analog kann die Faser ${\displaystyle S^{3}}$ in ${\displaystyle S^{7}}$ und die Faser ${\displaystyle S^{7}}$ in ${\displaystyle S^{15}}$ zu einem Punkt zusammengezogen werden. Die kurzen exakten Sequenzen zerfallen weiter, wodurch es Familien von Isomorphismen gibt:

${\displaystyle \pi _{i}(S^{4})\cong \pi _{i}(S^{7})\oplus \pi _{i-1}(S^{3})}$ und ${\displaystyle \pi _{i}(S^{8})\cong \pi _{i}(S^{15})\oplus \pi _{i-1}(S^{7}).}$${\displaystyle ^{[6]S.111}}$

Spektralsequenz

Spektralsequenzen sind wichtige Hilfsmittel in der algebraischen Topologie zur Berechnung von (Ko-)Homologiegruppen.

Die Leray-Serre-Spektralsequenz stellt einen Zusammenhang zwischen der (Ko-)Homologie von Totalraum und Faser mit der (Ko-)Homologie des Basisraums einer Faserung her. Für eine Faserung ${\displaystyle p\colon E\to B}$ mit Faser ${\displaystyle F}$, wobei der Basisraum ein wegzusammenhängender CW-Komplex ist, und einer additiven Homologietheorie ${\displaystyle G_{*}}$ existiert eine Spektralsequenz:

${\displaystyle H_{k}(B;G_{q}(F))\cong E_{k,q}^{2}\implies G_{k+q}(E).}$${\displaystyle ^{[7]S.242}}$

Faserungen liefern in der Homologie keine langen exakten Sequenzen, wie in der Homotopie. Aber unter bestimmten Bedingungen, liefern Faserungen exakte Sequenzen in der Homologie. Für eine Faserung ${\displaystyle p\colon E\to B}$ mit Faser ${\displaystyle F}$, wobei Basisraum und Faser wegzusammenhängend sind, die Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$ auf ${\displaystyle H_{*}(F)}$ trivial operiert und zusätzlich die Bedingungen ${\displaystyle H_{p}(B)=0}$ für ${\displaystyle 0<p<m}$ und ${\displaystyle H_{q}(F)=0}$ für ${\displaystyle 0<q<n}$ gelten, existiert eine exakte Sequenz:

${\displaystyle H_{m+n-1}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{m+n-1}(E)\xrightarrow {f_{*}} H_{m+n-1}(B)\xrightarrow {\tau } H_{m+n-2}(F)\xrightarrow {i^{*}} \cdots \xrightarrow {f_{*}} H_{1}(B)\to 0.}$${\displaystyle ^{[7]S.250}}$

Diese Sequenz kann z. B. benutzt werden, um den Satz von Hurewicz zu beweisen oder um die Homologiegruppen von Schleifenräumen der Form ${\displaystyle \Omega S^{n}}$ zu berechnen:

${\displaystyle H_{k}(\Omega S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &\exists q\in \mathbb {Z} \colon k=q(n-1)\\0&sonst\end{cases}}.}$${\displaystyle ^{[8]S.162}}$

Für den Spezialfall einer Faserung ${\displaystyle p\colon E\to S^{n},}$ bei welcher der Basisraum eine ${\displaystyle n}$-Sphäre mit Faser ${\displaystyle F}$ ist, existieren exakte Sequenzen (auch Wang Sequenzen genannt) für Homologie und Kohomologie:

${\displaystyle \cdots \to H_{q}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{q}(E)\to H_{q-n}(F)\to H_{q-1}(F)\to \cdots }$

${\displaystyle \cdots \to H^{q}(E)\xrightarrow {i^{*}} H^{q}(F)\to H^{q-n+1}(F)\to H^{q+1}(E)\to \cdots }$${\displaystyle ^{[4]S.456}}$

Orientierbarkeit

Für eine Faserung ${\displaystyle p\colon E\to B}$ mit Faser ${\displaystyle F}$ und einem festen kommutativen Ring ${\displaystyle R}$ mit Eins existiert ein kontravarianter Funktor von dem Fundamentalgruppoid von ${\displaystyle B}$ zur Kategorie von graduierten ${\displaystyle R}$-Moduln, welcher jedem ${\displaystyle b\in B}$ den Modul ${\displaystyle H_{*}(F_{b},R)}$ und der Wegeklasse ${\displaystyle [\omega ]}$ den Homomorphismus ${\displaystyle h[\omega ]_{*}\colon H_{*}(F_{\omega (0)},R)\to H_{*}(F_{\omega (1)},R)}$ zuordnet, wobei ${\displaystyle h[\omega ]}$ eine Homotopieklasse in ${\displaystyle [F_{\omega (0)},F_{\omega (1)}]}$ ist.

Eine Faserung wird orientierbar über ${\displaystyle R}$ genannt, falls für jeden geschlossenen Weg ${\displaystyle \omega }$ in ${\displaystyle B}$ gilt: ${\displaystyle h[\omega ]_{*}=1.}$${\displaystyle ^{[4]S.476}}$

Euler-Charakteristik

Für eine über einem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$ orientierbare Faserung ${\displaystyle p\colon E\to B}$ mit Faser ${\displaystyle F}$ und wegzusammenhängendem Basisraum ist die Euler-Charakteristik des Totalraums definiert durch:

${\displaystyle \chi (E)=\chi (B)\chi (F).}$

Die Euler-Charakteristiken des Basisraums und der Faser sind dabei über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$ definiert.${\displaystyle ^{[4]S.481}}$

Literatur

• [1] Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, NY 2001, ISBN 0-521-79160-X.
• [2] Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2014, ISBN 978-3-662-45952-2, doi:10.1007/978-3-662-45953-9.
• [3] J.P. May: A Concise Course in Algebraic Topology.
• [4] Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. Springer Science & Business Media, ISBN 978-0-387-94426-5, doi:10.1007/978-1-4684-9322-1.
• [5] Albrecht Dold, René Thom: Quasifaserungen und Unendlich Symmetrische Produkte. Annals of Mathematics, 1958, doi:10.2307/1970005.
• [6] Norman Steenrod: The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press, Princeton NJ 1951, ISBN 0-691-08055-0.
• [7] James F. Davis, Paul Kirk: Lecture Notes in Algebraic Topology. 1991.
• [8] Ralph L. Cohen: The Topology of Fiber Bundles Lecture Notes. August 1998.