Die Elliptische Lambda-Funktion , auch Modulare Lambda-Funktion genannt, ist eine holomorphe modulare Funktion auf der oberen Halbebene der komplexen Zahlen. Sie ist eine Kongruenzuntergruppe vom Typ Γ(2). Sie wird als Hauptmodul für die modulare Kurve X (2) beschrieben.
Komplexe Ebenendarstellung der elliptischen Lambdafunktion
Die Elliptische Lambda-Funktion ist auf folgende Weise definiert:
Sei
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
die obere Halbebene der komplexen Zahlen, sodass für die Lambda-Funktion gilt
λ
:
H
→
C
{\displaystyle \lambda \colon \mathbb {H} \to \mathbb {C} }
, dann kann Folgendes formuliert werden:
Ausdruck über die Jacobi-Thetafunktion :
λ
(
τ
)
=
ϑ
10
4
[
exp
(
i
π
τ
)
]
ϑ
00
4
[
exp
(
i
π
τ
)
]
{\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\vartheta _{10}^{4}[\exp(i\pi \tau )]}{\vartheta _{00}^{4}[\exp(i\pi \tau )]}}}
Dabei gilt:
ϑ
10
[
exp
(
i
π
τ
)
]
=
∑
n
=
−
∞
∞
exp
[
i
π
τ
(
n
+
1
/
2
)
2
]
{\displaystyle \vartheta _{10}[\exp(i\pi \tau )]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp[i\pi \tau (n+1/2)^{2}]}
ϑ
00
[
exp
(
i
π
τ
)
]
=
∑
n
=
−
∞
∞
exp
(
i
π
τ
n
2
)
{\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(i\pi \tau )]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(i\pi \tau n^{2})}
Die Kongruenzuntergruppe Γ(2) ist hierbei folgendermaßen beschaffen:
Γ
(
2
)
:=
{
(
a
b
c
d
)
∈
SL
2
(
Z
)
|
a
≡
d
≡
1
(
mod
2
)
,
b
≡
c
≡
0
(
mod
2
)
}
=
⟨
(
1
2
0
1
)
,
(
1
0
2
1
)
,
(
−
1
0
0
−
1
)
⟩
{\displaystyle \Gamma (2):=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )|a\equiv d\equiv 1{\pmod {2}},b\equiv c\equiv 0{\pmod {2}}\right\}=\left\langle {\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\right\rangle }
Ausdruck über die Dedekindsche Etafunktion :
λ
(
τ
)
=
16
η
8
(
τ
/
2
)
η
16
(
2
τ
)
η
24
(
τ
)
{\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {16\eta ^{8}(\tau /2)\eta ^{16}(2\tau )}{\eta ^{24}(\tau )}}}
Ausdruck über die Weierstraß-Funktion :[1]
λ
(
τ
)
=
℘
(
τ
/
2
+
1
/
2
,
τ
)
−
℘
(
τ
/
2
,
τ
)
℘
(
1
/
2
,
τ
)
−
℘
(
τ
/
2
,
τ
)
{\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\wp (\tau /2+1/2,\tau )-\wp (\tau /2,\tau )}{\wp (1/2,\tau )-\wp (\tau /2,\tau )}}}
Definition als Lösung einer Integralgleichung
Funktionsgraph für λ(ix) = λ*(x²)², das Quadrat der Lambda-Stern-Funktion
Die Elliptische Lambda-Funktion ausgedrückt mit einem Stern oben rechts über dem Lambda liefert den elliptischen Modul beziehungsweise die Exzentrizität auf folgende Weise:
K
[
1
−
λ
∗
(
x
)
2
]
/
K
[
λ
∗
(
x
)
]
=
x
{\displaystyle K\left[{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]/K[\lambda ^{*}(x)]={\sqrt {x}}}
Dabei bezeichnet K das vollständige elliptische Integral erster Art.
Die Funktionen Lambda und Lambda-Stern stehen in folgender Beziehung zueinander:
λ
∗
(
x
)
=
λ
(
i
x
)
{\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\sqrt {\lambda (i{\sqrt {x}})}}}
Definition mit Integralen
Die Jacobische Theta-Nullwertfunktion ϑ₀₀ hat diese Integralidentität:
ϑ
00
[
exp
(
−
π
x
)
]
=
1
+
2
exp
(
−
π
x
)
∫
0
∞
exp
(
−
π
y
2
)
exp
(
2
π
x
)
−
cos
(
2
π
x
4
y
)
cosh
(
2
π
x
)
−
cos
(
2
π
x
4
y
)
d
y
{\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]=1+2\exp(-\pi {\sqrt {x}})\int _{0}^{\infty }\exp(-\pi y^{2}){\frac {\exp(2\pi {\sqrt {x}})-\cos(2\pi {\sqrt[{4}]{x}}\,y)}{\cosh(2\pi {\sqrt {x}})-\cos(2\pi {\sqrt[{4}]{x}}\,y)}}\mathrm {d} y}
ϑ
00
[
exp
(
−
2
π
x
)
]
=
1
+
2
exp
(
−
2
π
x
)
∫
0
∞
exp
(
−
π
y
2
)
exp
(
4
π
x
)
−
cos
(
2
π
4
x
4
y
)
cosh
(
4
π
x
)
−
cos
(
2
π
4
x
4
y
)
d
y
{\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-2\pi {\sqrt {x}})]=1+2\exp(-2\pi {\sqrt {x}})\int _{0}^{\infty }\exp(-\pi y^{2}){\frac {\exp(4\pi {\sqrt {x}})-\cos(2\pi {\sqrt[{4}]{4x}}\,y)}{\cosh(4\pi {\sqrt {x}})-\cos(2\pi {\sqrt[{4}]{4x}}\,y)}}\mathrm {d} y}
Die Lambda-Stern-Funktion kann dann auf jenem Definitionsweg dargestellt werden:
λ
∗
(
x
)
=
sin
⟨
2
arccos
{
ϑ
00
[
exp
(
−
2
π
x
)
]
ϑ
00
[
exp
(
−
π
x
)
]
}
⟩
{\displaystyle \lambda ^{*}(x)=\sin {\biggl \langle }2\arccos {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{00}[\exp(-2\pi {\sqrt {x}})]}{\vartheta _{00}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }}
Weitere Identitäten zwischen Thetafunktion und Lambdafunktion
Für die Thetafunktionen ϑ₁₀ und ϑ₀₀ in reeller Form gelten folgende Formeln:
ϑ
10
[
exp
(
−
π
x
)
]
=
∑
a
=
−
∞
∞
exp
[
−
(
a
+
1
2
)
2
π
x
]
=
{
∑
a
=
−
∞
∞
sech
[
(
a
+
1
2
)
π
x
]
}
1
/
2
=
{\displaystyle \vartheta _{10}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]=\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp[-(a+{\tfrac {1}{2}})^{2}\pi {\sqrt {x}}]={\biggl \{}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} [(a+{\tfrac {1}{2}})\pi {\sqrt {x}}]{\biggr \}}^{1/2}=}
=
2
π
−
1
λ
∗
(
x
)
K
[
λ
∗
(
x
)
]
=
λ
∗
(
4
x
)
4
4
π
−
1
K
[
λ
∗
(
4
x
)
]
{\displaystyle ={\sqrt {2\pi ^{-1}\lambda ^{*}(x)K[\lambda ^{*}(x)]}}={\sqrt[{4}]{\lambda ^{*}(4x)}}{\sqrt {4\pi ^{-1}K[\lambda ^{*}(4x)]}}}
ϑ
00
[
exp
(
−
π
x
)
]
=
∑
a
=
−
∞
∞
exp
(
−
a
2
π
x
)
=
[
∑
a
=
−
∞
∞
sech
(
a
π
x
)
]
1
/
2
=
2
π
−
1
K
[
λ
∗
(
x
)
]
=
agm
[
1
;
λ
∗
(
1
/
x
)
]
−
1
/
2
{\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]=\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {x}})={\biggl [}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {x}}){\biggr ]}^{1/2}={\sqrt {2\pi ^{-1}K[\lambda ^{*}(x)]}}=\operatorname {agm} [1;\lambda ^{*}(1/x)]^{-1/2}}
ϑ
01
[
exp
(
−
π
x
)
]
=
∑
a
=
−
∞
∞
(
−
1
)
a
exp
(
−
a
2
π
x
)
=
2
π
−
1
λ
∗
(
1
/
x
)
K
[
λ
∗
(
x
)
]
{\displaystyle \vartheta _{01}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]=\sum _{a=-\infty }^{\infty }(-1)^{a}\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {x}})={\sqrt {2\pi ^{-1}\lambda ^{*}(1/x)K[\lambda ^{*}(x)]}}}
Mit der Abkürzung agm wird das arithmetisch geometrische Mittel zum Ausdrück gebracht.
Von diesen beiden Thetafunktionen werden im Folgenden einige Theta-Nullwerte aufgelistet.
Anwendungsbeispiele
Unendliche Summe der Kehrwerte ungeradstelliger Fibonacci-Zahlen :
∑
n
=
1
∞
1
F
2
n
−
1
=
∑
n
=
1
∞
5
2
sech
[
(
n
−
1
2
)
arcosh
(
3
2
)
]
=
5
4
∑
a
=
−
∞
∞
sech
[
(
a
+
1
2
)
arcosh
(
3
2
)
]
=
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sqrt {5}}{2}}\operatorname {sech} {\bigl [}(n-{\tfrac {1}{2}})\operatorname {arcosh} ({\tfrac {3}{2}}){\bigr ]}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} {\bigl [}(a+{\tfrac {1}{2}})\operatorname {arcosh} ({\tfrac {3}{2}}){\bigr ]}=}
=
5
4
ϑ
10
(
Φ
−
2
)
2
=
5
8
[
ϑ
00
(
Φ
−
1
)
2
−
ϑ
01
(
Φ
−
1
)
2
]
=
5
π
λ
∗
[
16
π
−
2
ln
(
Φ
)
2
]
K
{
λ
∗
[
16
π
−
2
ln
(
Φ
)
2
]
}
{\displaystyle ={\frac {\sqrt {5}}{4}}\vartheta _{10}(\Phi ^{-2})^{2}={\frac {\sqrt {5}}{8}}{\bigl [}\vartheta _{00}(\Phi ^{-1})^{2}-\vartheta _{01}(\Phi ^{-1})^{2}{\bigr ]}={\frac {\sqrt {5}}{\pi }}{\sqrt {\lambda ^{*}[16\,\pi ^{-2}\ln(\Phi )^{2}]}}K\{\lambda ^{*}[16\,\pi ^{-2}\ln(\Phi )^{2}]\}}
Dabei ist
Φ
=
5
+
1
2
{\displaystyle \Phi ={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}
die goldene Zahl .
Unendliche Summe der Kehrwerte ungeradstelliger Pell-Zahlen :
∑
n
=
1
∞
1
P
(
2
n
−
1
)
=
2
2
π
λ
∗
[
16
π
−
2
arsinh
(
1
)
2
]
K
{
λ
∗
[
16
π
−
2
arsinh
(
1
)
2
]
}
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P(2n-1)}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{\pi }}{\sqrt {\lambda ^{*}[16\,\pi ^{-2}\operatorname {arsinh} (1)^{2}]}}K\{\lambda ^{*}[16\,\pi ^{-2}\operatorname {arsinh} (1)^{2}]\}}
Die Funktion
λ
(
τ
)
{\displaystyle \lambda (\tau )}
verhält sich in der auf folgende Weise erzeugten Gruppe invariant:
τ
⟼
τ
+
2
;
τ
⟼
τ
1
−
2
τ
{\displaystyle \tau \longmapsto \tau +2;\tau \longmapsto {\frac {\tau }{1-2\tau }}}
Die Erzeuger der modularen Gruppen sind wie folgt beschaffen:
τ
⟼
τ
+
1
;
λ
⟼
λ
λ
−
1
{\displaystyle \tau \longmapsto \tau +1;\lambda \longmapsto {\frac {\lambda }{\lambda -1}}}
τ
⟼
−
1
τ
;
λ
⟼
1
−
λ
{\displaystyle \tau \longmapsto -{\frac {1}{\tau }};\lambda \longmapsto 1-\lambda }
Folglich verhält sich die Gruppe in Bezug auf
λ
(
τ
)
{\displaystyle \lambda (\tau )}
unharmonisch.
Das Doppelverhältnis weist folgende sechs Werte auf:
{
λ
,
1
1
−
λ
,
λ
−
1
λ
,
1
λ
,
λ
λ
−
1
,
1
−
λ
}
{\displaystyle \left\{\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda \right\}}
Allgemeine Beziehungen
Generell ist jeder Lambda-Stern-Wert einer positiven rationalen Zahl eine positive algebraische Zahl:
λ
∗
(
x
∈
Q
+
)
∈
A
+
{\displaystyle \lambda ^{*}(x\in \mathbb {Q} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}}
Folgende Beziehung gilt für alle n ∈ ℕ:
n
=
∑
a
=
1
n
dn
{
2
a
n
K
[
λ
∗
(
1
n
)
]
;
λ
∗
(
1
n
)
}
{\displaystyle {\sqrt {n}}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} {\biggl \{}{\frac {2a}{n}}K{\biggl [}\lambda ^{*}{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}{\biggr ]};\lambda ^{*}{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}{\biggr \}}}
Hierbei ist dn die Jacobische elliptische Funktion Delta Amplitudinis.
Weiterhin gilt für alle Zahlen n ∈ ℕ:
λ
∗
(
n
2
x
)
=
λ
∗
(
x
)
n
∏
a
=
1
n
sn
{
2
a
−
1
n
K
[
λ
∗
(
x
)
]
;
λ
∗
(
x
)
}
2
{\displaystyle \lambda ^{*}(n^{2}x)=\lambda ^{*}(x)^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} {\biggl \{}{\frac {2a-1}{n}}K{\bigl [}\lambda ^{*}(x){\bigr ]};\lambda ^{*}(x){\biggr \}}^{2}}
λ
∗
(
4
n
2
)
=
∏
a
=
1
n
sl
(
2
a
−
1
4
n
ϖ
)
4
{\displaystyle \lambda ^{*}(4n^{2})=\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sl} \left({\frac {2a-1}{4n}}\varpi \right)^{4}}
Hierbei ist sn die Jacobische elliptische Funktion Sinus Amplitudinis, während sl der lemniskatische Sinus ist.
Die Funktion λ*(x) wird auf folgende Weise[5] abgeleitet:
d
d
x
λ
∗
(
x
)
=
−
λ
∗
(
x
)
λ
∗
(
1
/
x
)
2
K
[
λ
∗
(
x
)
]
2
π
x
=
−
λ
∗
(
x
)
λ
∗
(
1
/
x
)
2
K
[
λ
∗
(
x
)
]
3
π
K
[
λ
∗
(
1
/
x
)
]
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\lambda ^{*}(x)=-{\frac {\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(1/x)^{2}K[\lambda ^{*}(x)]^{2}}{\pi {\sqrt {x}}}}=-{\frac {\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(1/x)^{2}K[\lambda ^{*}(x)]^{3}}{\pi K[\lambda ^{*}(1/x)]}}}
Dies wird im nun Folgenden bewiesen. Für die Ableitung des vollständigen elliptischen Integrals erster Art gilt:
d
d
x
K
(
x
)
=
E
(
x
)
−
(
1
−
x
2
)
K
(
x
)
x
(
1
−
x
2
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}K(x)={\frac {E(x)-(1-x^{2})K(x)}{x(1-x^{2})}}}
Mit der Quotientenregel kann die Umkehrfunktion zur elliptischen Lambda-Stern-Funktion abgeleitet werden:
d
d
x
K
(
1
−
x
2
)
2
K
(
x
)
2
=
−
2
K
(
1
−
x
2
)
x
(
1
−
x
2
)
K
(
x
)
3
[
K
(
x
)
E
(
1
−
x
2
)
+
E
(
x
)
K
(
1
−
x
2
)
−
K
(
x
)
K
(
1
−
x
2
)
]
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {K({\sqrt {1-x^{2}}})^{2}}{K(x)^{2}}}=-{\frac {2K({\sqrt {1-x^{2}}})}{x(1-x^{2})K(x)^{3}}}{\bigl [}K(x)E({\sqrt {1-x^{2}}})+E(x)K({\sqrt {1-x^{2}}})-K(x)K({\sqrt {1-x^{2}}}){\bigr ]}}
Die Legendresche Identität [6] besagt, dass die in den eckigen Klammern stehende Bilanz konstant den Wert π/2 annimmt:
d
d
x
K
(
1
−
x
2
)
2
K
(
x
)
2
=
−
π
K
(
1
−
x
2
)
x
(
1
−
x
2
)
K
(
x
)
3
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {K({\sqrt {1-x^{2}}})^{2}}{K(x)^{2}}}=-{\frac {\pi K({\sqrt {1-x^{2}}})}{x(1-x^{2})K(x)^{3}}}}
Nach der Umkehrregel ist die Ableitung einer Funktion der Kehrwert der Ableitung ihrer Umkehrfunktion mit der Funktion als innere Variable:
d
d
x
λ
∗
(
x
)
=
[
d
d
w
K
(
1
−
w
2
)
2
K
(
w
)
2
]
−
1
[
w
=
λ
∗
(
x
)
]
=
[
−
π
K
(
1
−
w
2
)
w
(
1
−
w
2
)
K
(
w
)
3
]
−
1
[
w
=
λ
∗
(
x
)
]
=
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\lambda ^{*}(x)={\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}\,{\frac {K({\sqrt {1-w^{2}}})^{2}}{K(w)^{2}}}{\biggr ]}^{-1}[w=\lambda ^{*}(x)]={\biggl [}-{\frac {\pi K({\sqrt {1-w^{2}}})}{w(1-w^{2})K(w)^{3}}}{\biggr ]}^{-1}[w=\lambda ^{*}(x)]=}
=
[
−
w
(
1
−
w
2
)
K
(
w
)
3
π
K
(
1
−
w
2
)
]
[
w
=
λ
∗
(
x
)
]
=
−
λ
∗
(
x
)
λ
∗
(
1
/
x
)
2
K
[
λ
∗
(
x
)
]
3
π
K
[
λ
∗
(
1
/
x
)
]
{\displaystyle ={\biggl [}-{\frac {w(1-w^{2})K(w)^{3}}{\pi K({\sqrt {1-w^{2}}})}}{\biggr ]}[w=\lambda ^{*}(x)]=-{\frac {\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(1/x)^{2}K[\lambda ^{*}(x)]^{3}}{\pi K[\lambda ^{*}(1/x)]}}}
Chandrasekharan, K. (1985): Elliptic Functions, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . 281, Springer-Verlag, pp. 108–121, ISBN 3-540-15295-4 , Zbl 0575.33001
Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010): „Elliptic Modular Function“, in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
Rankin, Robert A. (1977): Modular Forms and Functions . Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X , Zbl 0376.10020
Jonathan Borwein und Peter Borwein : π and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity . Wiley, 1998, ISBN 978-0-471-31515-5 , Seite 139 (englisch, wiley.com)
Milton Abramowitz und Irene Stegun eds. (1972): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables . New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0 , Zbl 0543.33001
Nikos Bagis: On the complete solution of the general quintic using the Rogers-Ramanujan continued fraction . Pella, Makedonien, Griechenland, 2015. p. 3, arXiv 1510.00068v1
Folkmar Bornemann, Dirk Laurie, Stan Wagon und Jörg Waldvogel: Vom Lösen numerischer Probleme , Seiten 277 bis 280