Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus sind mathematischeHyperbelfunktionen, auch Hyperbelsinus bzw. Hyperbelkosinus genannt; sie tragen die Symbole bzw. , in älteren Quellen auch und [1] Die Kurve, die ein an zwei Punkten aufgehängtes Seil einheitlicher Längendichte beschreibt, ist ein Kosinus hyperbolicus. Sein Graph wird deshalb auch als Katenoide (Kettenlinie) bezeichnet.
Der Kosinus hyperbolicus bildet das Intervall bijektiv auf das Intervall und lässt sich eingeschränkt auf also invertieren. Die Umkehrfunktion davon nennt man Areakosinus hyperbolicus.
Beide Umkehrfunktionen, Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus, lassen sich folgendermaßen mit Hilfe von elementareren Funktionen berechnen:
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Ableitungen
Die Ableitung des Sinus hyperbolicus ist der Kosinus hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus hyperbolicus ist der Sinus hyperbolicus:
Stammfunktionen
Zusammenhänge (zwischen den beiden Funktionen und anderen)
Ein homogenes Seil, das nur aufgrund seiner Eigenlast durchhängt, kann durch eine Kosinus-hyperbolicus-Funktion beschrieben werden. Eine derartige Kurve nennt man auch Kettenlinie, Kettenkurve oder Katenoide.
Man sieht eine große Ähnlichkeit zu Drehmatrizen; man erkennt so also gut die Analogie zwischen speziellen Lorentztransformationen in der vierdimensionalen Raumzeit und Drehungen im dreidimensionalen Raum.
Kosmologie
Der Sinus hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf. Die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch
,
wobei
eine charakteristische Zeitskala ist. ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters, der Dichteparameter für die Dunkle Energie. Die Herleitung dieses Ergebnisses findet man bei den Friedmann-Gleichungen. Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Materie tritt dagegen der Kosinus hyperbolicus auf:
Cardanische Formeln
Die sogenannten Cardanischen Formeln dienen zum Lösen von kubischen Gleichungen. Diese Formeln wurden nach dem italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano benannt. Das Verdreifachungstheorem des Sinus Hyperbolicus lautet wie folgt:
Abgewandelt gilt somit:
Für den Allgemeinfall der durch kubische Ergänzung reduzierten kubischen Gleichung kann mit diesem Theorem aufgelöst werden:
Gegeben ist folgende Formel:
Substitutiv wird diese nun entstandene Form auf das Verdreifachungstheorem übertragen:
Falls r eine positive Zahl ist, gilt somit folgendes Paar aus Gleichung und Lösung:
So gilt beispielsweise für den Kehrwert der Supergoldenen Zahl dieser Ausdruck:
Wenn der Koeffizient des linearen Gliedes von 1 auf 2 abgeändert wird, dann entsteht folgende Gleichung mit folgender reeller Lösung:
Auch die quartischen Gleichungen können für den Allgemeinfall vereinfacht mit den Hyperbelfunktionen gelöst werden:
Ebenso soll hierfür ein Beispiel angeführt werden:
Im Gegensatz zum Regelfall der Gleichungen dritten Grades und vierten Grades kann der Regelfall der Gleichungen fünften Grades nicht elementar dargestellt werden. Diese Tatsache wird durch den Satz von Abel-Ruffini ausgedrückt und wurde ebenso durch den Mathematiker Évariste Galois erforscht. Die Lösungen derjenigen quintischen Gleichungen aber, welche sehr wohl mit elementaren Wurzelausdrücken gelöst werden können, lassen sich stark vereinfacht mit den Hyperbelfunktionen und ihren Umkehrfunktionen darstellen. Im Folgenden sollen hierfür zwei solche qunitischen Gleichungen mit ihren hyperbolisch dargestellten Lösungen gezeigt werden: