Bonferroni-Ungleichung

Die Bonferroni-Ungleichungen sind Formeln, die zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts bzw. der Vereinigung von Ereignissen dienen.

Benennung nach Bonferroni

Die Bonferroni-Ungleichungen sind nach Carlo Emilio Bonferroni benannt.^[1]

Bonferroni war vermutlich nicht der Urheber dieser Ungleichungen, benutzte sie aber, um einen statistischen Schätzer zu definieren (Bonferroni-Methode). Die Benennung nach ihm ist daher vor allem in statistischen Kreisen beliebt. Aufgrund ihrer Einfachheit sind die Ungleichungen mit großer Wahrscheinlichkeit schon vor ihm bekannt gewesen.^[2]

Erste Ungleichung

Im Folgenden seien ${\displaystyle E_{i}}$ beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$. Es bezeichne ${\displaystyle \mathbb {P} (E_{i})}$ die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ${\displaystyle E_{i}}$ und ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}E_{i}}$ die Vereinigungsmenge der Ereignisse ${\displaystyle E_{1},\dots ,E_{n}}$. Bekannterweise gilt:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(E_{1}\bigcup E_{2}\right)=\mathbb {P} \left(E_{1}\right)+\mathbb {P} \left(E_{2}\right)-\mathbb {P} \left(E_{1}\bigcap E_{2}\right)\leq \mathbb {P} \left(E_{1}\right)+\mathbb {P} \left(E_{2}\right)}$

Allgemeiner gilt:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} \left(E_{i}\right)}$.

Es gilt auch allgemeiner:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(E_{i}\right)}$

Diese Ungleichungen werden auch nach George Boole als Boolesche Ungleichungen bezeichnet.

Beweis

Setzt man

${\displaystyle A_{i}=E_{i}\setminus \left(\bigcup _{j=1}^{i-1}E_{j}\right),}$

dann sind die ${\displaystyle A_{i}}$ paarweise disjunkt und es gilt

${\displaystyle \bigcup _{i}A_{i}=\bigcup _{i}E_{i}.}$

Damit folgt

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}E_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (A_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (E_{i}).}$

Dabei gilt die zweite Gleichheit wegen der σ-Additivität und die Ungleichung wegen ${\displaystyle A_{i}\subseteq E_{i}}$ und der Monotonie des Wahrscheinlichkeitsmaßes.^[3]

Zweite Ungleichung

Im Folgenden seien wieder ${\displaystyle E_{i}}$ beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$. Ferner bezeichne ${\displaystyle {\overline {E_{i}}}=\Omega \setminus E_{i}}$ das Komplement von ${\displaystyle E_{i}}$. Dann folgt:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcap _{i=1}^{n}E_{i}\right)\geq 1-\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} \left({\overline {E_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} \left(E_{i}\right)-(n-1)}$

Dritte Ungleichung

Mit den beiden obigen Ungleichungen eng verbunden ist die folgende, welche von einigen Autoren auch bonferronische Ungleichung (englisch Bonferroni's Inequality) genannt wird. Sie besagt (unter den genannten Voraussetzungen):^[4]

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}{E_{i}}\right)\geq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} \left(E_{i}\right)-\sum _{i,j=1,\ldots ,n \atop \;{\text{mit}}\;i<j}\mathbb {P} \left({E_{i}\cap E_{j}}\right)}$

Beispiele

• Es ist ${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}}$ die Menge der Ergebnisse eines einzelnen Würfelwurfs. Bezeichne ${\displaystyle E_{1}=\{2,4,6\}}$ das Ereignis, eine gerade Zahl zu würfeln und ${\displaystyle E_{2}=\{5,6\}}$ das Ereignis, dass die geworfene Zahl mindestens gleich 5 ist. Offensichtlich gilt ${\displaystyle \mathbb {P} (E_{1})={\frac {1}{2}}}$ und ${\displaystyle \mathbb {P} (E_{2})={\frac {1}{3}}}$. Nach der ersten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl oder wenigstens eine 5 zu würfeln, also ${\displaystyle E=\{2,4,5,6\}}$,

${\displaystyle \mathbb {P} \left(E_{1}\cup E_{2}\right)\leq \mathbb {P} \left(E_{1}\right)+\mathbb {P} \left(E_{2}\right)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {5}{6}}.}$

• Sei das Szenario wie im vorausgehenden Beispiel. Nach der zweiten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl und mindestens eine 5 zu würfeln, also ${\displaystyle E_{3}=\{6\}}$:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(E_{1}\cap E_{2}\right)\geq 1-\mathbb {P} \left({\overline {E_{1}}}\right)-\mathbb {P} \left({\overline {E_{2}}}\right)=1-\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-\left(1-{\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {1}{6}}}$

Das Ergebnis liefert keine brauchbare Aussage, da ohnehin jede Wahrscheinlichkeit größer oder gleich Null ist.

Jedoch folgt für das Ereignis, eine gerade Zahl und weniger als eine 5 zu würfeln, also ${\displaystyle E=\{2,4\}}$,

${\displaystyle \mathbb {P} \left(E_{1}\cap {\overline {E_{2}}}\right)\geq 1-\mathbb {P} \left({\overline {E_{1}}}\right)-\mathbb {P} \left(E_{2}\right)=1-\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-\left(1-{\frac {2}{3}}\right)={\frac {1}{6}}.}$

Siehe auch

• Prinzip von Inklusion und Exklusion

Literatur

• Frank B. Alt: Bonferroni Inequalities and Intervals. In: Samuel Kotz et al. (Hrsg.): Encyclopedia of Statistical Sciences. 2. Auflage. Band 1. Wiley, New York 2006, ISBN 978-0-471-15044-2, S. 617–622, doi:10.1002/0471667196.
• János Galambos, Italo Simonelli: Bonferroni type inequalities with applications. Springer, New York u. a. 1996, ISBN 0-387-94776-0.
• J. Galambos: Bonferroni inequalities. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).Vorlage:EoM/id
• Klaus Dohmen: Improved Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes. Inequalities and Identities of Inclusion-Exclusion Type. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-20025-8.
• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 7. Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-67259-5.
• Kenneth H. Rosen (Hrsg.): Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. CRC Press, 2000, ISBN 0-8493-0149-1.

Einzelnachweise

1. Jürgen Bortz: Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. 6. Auflage. Springer, 2005, S. 129.
2. J. Galambos: Bonferroni inequalities. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).Vorlage:EoM/id
3. Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. de Gruyter Lehrbuch, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7. S. 15.
4. Rosen et al: Handbook ... S. 433.