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Basis eines Moduls in der Algebra Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Der Begriff der Basis eines Moduls ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine Verallgemeinerung des Begriffes der Basis eines Vektorraumes. Wie bei diesen wird eine Basis eines Moduls als linear unabhängiges Erzeugendensystem definiert; im Gegensatz zu Vektorräumen besitzt allerdings nicht jeder Modul eine Basis.
Ein System von Elementen eines Moduls über einem Ring mit Einselement definiert eine Abbildung
von der direkten Summe von Kopien von nach , die von den Abbildungen
induziert wird.
Eine Basis ist also ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.[1]
Die lineare Unabhängigkeit von ist äquivalent dazu, dass sich die 0 nur als die triviale Linearkombination darstellen lässt:
Ist eine Menge linear abhängig, so folgt daraus – im Gegensatz zum Fall von Vektorräumen – im Allgemeinen nicht, dass sich eines der Elemente als Linearkombination der anderen darstellen lässt. Das hat die folgenden Konsequenzen:
Als Beispiele betrachte man den -Modul : Das System ist maximal linear unabhängig, das System ist ein minimales Erzeugendensystem, keines der beiden ist eine Basis.
Ein Modul über einem Ring mit Einselement besitzt genau dann eine Basis, wenn er frei ist.[2] Der Begriff freier Modul ist eine Verallgemeinerung der Basisexistenz auf Moduln, deren Grundring nicht notwendig ein Einselement hat. Über Hauptidealringen ist jeder Untermodul eines freien Moduls wieder frei.[3]
Ist ein freier Modul über einem Hauptidealring und ein Untermodul von , dann kann eine Basis von induktiv berechnet werden:
Sei eine Basis von , betrachte .
Das Ideal werde von dem Ringelement erzeugt und es sei
,
dann gilt .
Sei ein -Modul und der Untermodul definiert durch .
Eine Basis von kann nun wie folgt berechnet werden:
Wir suchen nun das kleinste positive , welches obige Gleichung erfüllt.
Wir suchen das kleinste positive , welches die Gleichung erfüllt.
Wir haben eine Basis gefunden.
Es sei die abelsche Gruppe der ganzen Zahlen als Modul über dem Ring der ganzen Zahlen. Dann ist
Die einzigen Basen von sind und .
Es seien linear unabhängige Vektoren des euklidischen Vektorraums . Dann nennt man den -Modul
ein Gitter mit Basis vom Rang .
Gitter in spielen eine zentrale Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und elliptischen Kurven, Gitter in stehen in Beziehung zu komplexen Tori und abelschen Varietäten.
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