Analogrechner

Analogrechner sind Rechengeräte oder Rechenmaschinen, mit denen Berechnungen mit Hilfe von meist kontinuierlichen mechanischen oder elektrischen Vorgängen durchgeführt werden. Sie unterscheiden sich von Digitalrechnern dadurch, dass keine Stücke oder Ereignisse gezählt werden und sowohl die Rechenwerte als auch der Zeitverlauf kontinuierlich abgebildet werden. Grundlage des Analogrechnens sind somit die Werte physikalischer Größen, welche gemessen werden. Beim Rechenschieber, einem einfachen mechanischen Analogrechner, werden Zahlen als stetig auswählbare Längen repräsentiert und die Multiplikation bzw. Division von Zahlen auf eine logarithmische Addition bzw. Subtraktion abgebildet. Im Gegensatz dazu nutzt das digitale Rechnen direkt Zahlen als b.z.w. diskret definierter mathematischer Werte, welche abstrakt z. B. als Schaltzustände und nicht als messbare physikalische Größe vorliegen.

Simulation des Antriebsstrangs eines Ackerschleppers mit Hybridrechner EAI-8800 und Hardware-in-the-Loop (1987)

Bei Analogrechnern wird die Eigenschaft ausgenutzt, dass es in einem bestimmten Gültigkeitsbereich einen Zusammenhang zwischen dem Verhalten von Original und Modell gibt („Analogieprinzip“). Man kann mit dem Modell (Altgriechichisch „Analogon“) das Verhalten des Originals simulieren, weil sich Original und Modell in dem Bereich, der von Interesse ist, ähnlich (lat. „simul“) verhalten, b.z.w. mathematisch einander entsprechen. Analogrechner wurden anfangs für spezifische technische Zusammenhänge verwendet, beispielsweise zur Berechnung von Regelvorgängen mit Hilfe von pneumatischen oder elektrischen Ersatzschaltungen, die das dynamische Verhalten nachahmten. Ein anderes Beispiel war die mechanisch arbeitende Gezeitenrechenmaschine. Ab den 1940er Jahren wurden Analogrechner auf Basis von Elektronenröhren und später Transistoren und Operationsverstärkern gebaut und für allgemeine Problemlösungen standardisiert. Elektronische Analogrechner können für Spezialeinsatzgebiete auch rein passiv ohne aktive Bauelemente konstruiert werden. Außerdem gibt es sowohl direkte als auch indirekte Analogien.

Analogrechner wurden ab Mitte der 1980er Jahre zunehmend durch Digitalrechner verdrängt. In einer Übergangszeit gab es Hybridrechner mit einer Kombination von Analog- und Digitalrechner. Beim Analogrechner besteht die Gefahr, dass die Ergebnisse wegen eines Fehlers in der Verkabelung – zum Beispiel durch einen herausgerutschten Stecker – oder einer fehlerhaften Komponente inkorrekt sind, wobei insbesondere der „Programmwechsel“ mit Risiken verbunden ist. Nur bei Hardware-in-the-Loop-Simulationen, wo Echtzeit gefordert war, hielt er sich noch eine Weile. Letztlich waren es die Gesamtkosten und die Flexibilität, die dem Digitalrechner Vorteile verschafften.

Ein Analogrechner: der Rechenschieber

Vergleich zu Digitalrechnern

Analogrechner rechnen nicht wie Digitalrechner mit Zahlen in Form von diskreten Werten, sondern mit physikalischen – einander analogen – Größen. Zum Beispiel in Form von geometrischen Längen, Winkeln, Wasserständen (Wasserintegrator), elektrischen Spannungen oder Strömen. Die Beschreibung der Gleichungen erfolgt bei einem elektronischen Analogrechner durch Verbindung spezialisierter Rechenelemente und durch Potentiometer, bei einem Digitalrechner durch die Software.

Beim Analogrechner bildet allein diese Verbindung der Rechenelemente (also quasi allein die Hardware) ein Abbild der entsprechenden mathematischen Gleichungen und Vorgänge, während die selben Gleichungen beim Digitalrechner algorithmisch ausgeführt werden. Im Gegensatz zu Digitalrechnern benötigen Analogrechner keinen Speicher.

Während es beim Digitalrechner, z. B. bei der Lösung von Differentialgleichungen, keinen direkten Zusammenhang zwischen den internen Rechenvorgängen und dargestellten Systemen gibt (Abstraktion), erfolgt die Berechnung in Analogrechnern tatsächlich durch analoge, also einander entsprechende Vorgänge. Nutzt man z. B. die Stromstärke als Entsprechung der Geschwindigkeit, entspricht die Größe der elektrischen Ladung, nach einer bestimmten Zeit, der zurückgelegten Strecke. Diese Entsprechung der beiden unterschiedlichen physikalischen Größen ist die Analogie (das zugrunde gelegte Modell), das Ergebnis wird als Messwert ausgegeben z. B. beim elektronischen Analogcomputer als elektrische Spannung, bei einem Rechenschieber z.B. als Länge.

Der große Vorteil von Analogrechnern gegenüber Digitalrechnern ist ihre Echtzeitfähigkeit sowie ihre prinzipbedingt hohe Ausführungsparallelität bis in den Frequenzbereich von 20 kHz.^[1] Dies führt zu einer gegenüber algorithmisch programmierten Maschinen deutlich größeren Rechenleistung mit jedoch geringerer Rechengenauigkeit, deren Maschinenfehler im besten Fall bei ca. 0,01 Prozent liegt.

Geschichte der Analogrechner

Mechanismus von Antikythera

Bekannte alte Beispiele für Analogrechner sind die verschiedenen Arten von Rechenschiebern und mechanischen Planimetern, die seit dem 19. Jahrhundert weit verbreitet waren, bis sie in den 1970er und 1980er Jahren durch digitale elektronische Geräte abgelöst wurden. Weit verbreitet waren auch Proportionalwinkel, Reduktionszirkel und (fürs Zeichnen) Pantografen und Koordinatografen. Rechenschieber gab es vor allem in den Formen Rechenstab, Rechenscheibe, Rechenwalze und Rechenuhr.

Das älteste bekannte Gerät mit einer analogen Arbeitsweise ist der Mechanismus von Antikythera, der auf ungefähr 150 v. Chr. datiert wird. Mit ihm konnten Mond- und Sonnenfinsternisse sowie die Olympiaden ermittelt werden. Der Mechanismus von Antikythera stellte lediglich feste, vorfaktorisierte Beziehungen zwischen mehreren zeitlich periodisch veränderlichen Größen dar, es wurde somit nicht im eigentlichen Sinn gerechnet.

Zur Berechnung von Gezeiten wurden mechanische Analogrechner eingesetzt, wie man sie im Deutschen Schifffahrtsmuseum in Bremerhaven oder in Wilhelmshaven^[2] sehen kann. Mechanische Getriebe dienten als Integratoren, die über Seilrollengetriebe miteinander gekoppelt wurden, um den Einfluss des Mondes, der Sonne und der Erdrotation sowie einiger weitere Parameter nachzubilden.

1919 war Vannevar Bush als Wissenschaftler am MIT beschäftigt, ab 1923 als Professor für Elektrotechnik. Dort entwickelte er zwischen 1923 und 1927 einen Analogrechner zum Lösen von Differentialgleichungen, den Product Integraph. Der Differential Analyzer war ein elektromechanischer Analogrechner, der gleichzeitig mehrere Differentialgleichungen integrieren konnte. Die Ausgabe erfolgte mittels automatisch gedruckter Schaubilder. Er wurde in den Jahren 1928 bis 1932 am Massachusetts Institute of Technology (MIT) unter der Leitung von Vannevar Bush und H. L. Hazen entwickelt.

Der Wasserintegrator wurde 1936 in der Sowjetunion gebaut. Mittels eines komplexen Netzwerkes aus Röhren und Wasserbehältern konnten analoge dynamische Berechnungen durchgeführt werden.

Im Zweiten Weltkrieg arbeitete Sergei Alexejewitsch Lebedew an automatischen Steuerungen für komplexe Systeme. Seine Gruppe entwickelte eine Zieleinrichtung für Panzer und ein Navigationssystem für Raketen. Hierfür entwickelte er bis 1945 einen Analogrechner zum Lösen von Differentialgleichungen. Gleichzeitig entwickelte Hendrik Wade Bode in den USA eine rückgekoppelte automatische Steuerung für Flugabwehrkanonen (Director T-10) auf Basis von Radardaten.

Der deutsche Ingenieur Helmut Hölzer (1912–1996) leitete an der Heeresversuchsanstalt Peenemünde eine Arbeitsgruppe, die einen zur Tarnung Mischgerät genannten elektronischen Analogrechner entwickelte. Als eines der ersten Trägheitsnavigationssysteme diente es in der ballistischen Rakete A4, von der NS-Propaganda „Vergeltungswaffe 2“ – V2 genannt, zur Stabilisierung und Lenkung der Flugbahn. Das mit Elektronenröhren bestückte Gerät integrierte fortlaufend die von den beiden bordeigenen Kreiselinstrumenten ermittelten Beschleunigungen und Richtungen hin zu Entfernungen und Winkeln.^[3] Entsprechend der vorgegebenen Flugbahn wurden so die Strahl- und Luftruder sowie der Brennschluss der Rakete gesteuert.

Johannes Hoch (1913–1950) war ein Maschinenbauingenieur, der das Mischgerät nach der Aktion Ossawakim in der Sowjetunion weiterentwickelte und darüber hinaus einen Rechner für das Bahnmodell erstellte, mit dem die Bahnkurve einer Rakete unter Berücksichtigung der variablen Koeffizienten berechnet werden konnte. Zusammen mit dem Mischgerät ermöglichte es die Simulation des Steuerungssystems inkl. der Rudermaschinen vor dem Start.^[4]

Elektronische Analogrechner

Elektronische Analogrechner wurden in den Jahren zwischen 1950 und 1980 zur standardisierten Lösung von linearen und nichtlinearen Differentialgleichungen entwickelt und standardisiert. Elektronische Analogrechner waren technisch nutzbar zum Beispiel zur Simulation von Flugbahnen von Artilleriegeschossen und Bomben, zur Untersuchung von Fragestellungen in der Reaktorphysik, in der Luft- und Raumfahrttechnik, jedoch auch in der Mathematik, der Simulation von Prozessen, bei der Optimierung.

Hauptelement eines herkömmlichen elektronischen Analogrechners ist der Operationsverstärker, der als Grundlage für folgende aktive Grundelemente dient:

• Summierer (mit mehreren Eingängen)
• Integrierer (mit der Möglichkeit zum vorübergehenden Anhalten der Integration)
• Multiplizierer
• Koeffizientenglieder (z. B. Potentiometer)

Durch Koeffizientenpotentiometer, die als Spannungsteiler eingesetzt werden, werden variable Koeffizienten eingestellt. Mit Summierern (oder auch Addierer) können Zahlen addiert werden b.z.w. beliebig viele Werte mit und ohne Gewichtung summiert werden. Mit Multiplizierern können zwei Zahlen multipliziert werden. Wird der Multiplizierer in die Rückkopplung eines freien Operationsvertsärkers gesetzt entsteht ein Dividierer mit dem sich eine einfache Divison ausführen lässt. Durch entsprechende Konfiguration kann damit auch quadriert, kubiert oder radiziert werden. Mit Funktionsgeneratoren auf der Basis von Diodennetzwerken können nichtlineare Kennlinien eingestellt werden. Darüber hinaus wurden im Lauf der Jahre eine Vielzahl spezialisierter Zusatzgeräte entwickelt. Zu diesen zählen Resolver zur Umwandlung zwischen kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten, Laufzeitverzögerungsglieder zur Simulation von Signallaufzeiten, Rauschgeneratoren für die Erzeugung stochastischer Signale, und viele mehr. Komparatoren werden als einfache Entscheidungsglieder für komplexere Berechnungen angewandt (Beispiel: Ball berührt Boden oder Wand und wechselt die Richtung).

Anders als die meisten Digitalrechner besitzen Analogrechner in der Regel keinen Speicher, welcher den Programmablauf b.z.w. Algorithmus bereithält (Speicherprogrammierung). Stattdessen sind analogelektronische Computer „verbindungsprogrammiert“, das bedeutet sie werden durch die Verbindung der erforderlichen Rechenlemente der entsprechenden Logik nach so verdrahtet, dass die daraus resultierende Schaltung die entsprechenden mathematischen Zusammenhänge nachbildet und damit die gewünschten Rechenoperationen ausführt. Möchte man zum Beispiel den Weg aus der Beschleunigung errechnen, so müsste man zuerst die Beschleunigung als zweite Ableitung der Position nach der Zeit auflösen, um die Geschwindigkeit zu bekommen und im nächsten Schritt dann diese erneut, um die Position zu erhalten. Da die Integration die Umkehroperation der Differentiation ist muss die Beschleunigung hier also zwei Mal integriert werden. Dafür wird der Wert der Beschleunigung (welcher Spannung vorliegt) über entsprechende Verdrahtung durch zwei Integrierer geführt, damit am Ende die Position als Spannungsverlauf auf einem Oszilloskop dargestellt werden kann. Diese Vorgehensweise erfordert, anders als bei einem Speicherprogrammierten Digitalrechner, nicht die Kenntnis einer Programmiersprache, sondern der erforderlichen Schaltungstopologie, durch welche die mathematischen Operationen ausgeführt werden. Sollen mehrere Rechenoperationen durchgeführt werden, z. B. Addition und Integration, so werden diese nicht Schritt für Schritt nacheinander, sondern parallel in Echtzeit ausgeführt. Anders als bei Digitalrechnern wird das Ergebnis nicht als virtuelle oder symbolische Darstellung ausgegeben, sondern als Messwert in Form eines analogen Signals ausgelesen, ähnlich wie es bei Quantencomputern der Fall ist. Das führt zu sehr hohen Rechenleistungen mit einer jedoch in der Regel auf maximal vier Stellen hinter dem Komma begrenzten Genauigkeit, was aber in der Regel für die meisten praktischen Anwendungen ausreicht. Werden mehr Rechenelemente benötigt, als der Analogrechner zur Verfügung hat, kann eine Aufgabe nicht mehr gelöst werden da bei Analogrechnern kein Tausch zwischen Komplexität und Zeit möglich ist. Um dieses Problem zu lösen, verbindet man einfach mehrere kleinere Analogrechner zu einem größeren Rechner, welcher dann ohne Verlust der üblichen Parallelität das gewünschte Ergebnis in der üblichen Rechenzeit liefert. Der Analogrechner muss also prinzipiell mit steigender Komplexität größer b.z.w. eine komplexere Struktur aufweisen. Da er nicht Algorithmisch arbeitet benötigt man bei komplexen Aufgaben mitunter sehr viele Rechenelemente.

Zur Darstellung der Ergebnisse einer Rechnung werden meist Oszilloskope beziehungsweise Linienschreiber oder Voltmeter verwendet. Hierbei kommt die Möglichkeit eines Analogrechners, Rechnungen durch Zeitskalierung zwanglos schneller beziehungsweise langsamer als in der Realität ablaufen zu lassen, zum Tragen. Beispielsweise ist es möglich, die Simulation eines einfachen Ökosystems mit extrem gesteigerter Geschwindigkeit ablaufen zu lassen, während andere Vorgänge, die in der Realität zu schnell für eine direkte Untersuchung ablaufen (reaktionskinetische Fragen in der Chemie), entsprechend verlangsamt untersucht werden können. Durch (manuelles) Verstellen von Koeffizientenparametern kann auf einfache Weise das Ergebnis interaktiv variiert oder optimiert werden.

Neben der eingeschränkten Rechengenauigkeit besteht bei elektronischen Analogrechnern das zusätzliche Problem eines auf eine Maschineneinheit eingeschränkten Wertebereiches. Bei Verwendung von Elektronenröhren betrug die Maschineneinheit meist 100 V, während, von wenigen Ausnahmen abgesehen, transistorisierte Analogrechner meist mit 10 V als Maschineneinheit arbeiteten. Überschreitungen dieses Wertebereiches im Verlauf einer Rechnung führten zu einer Übersteuerung und lösten einen Alarm des Rechners aus. Die Differentialgleichungen müssen durch eine geeignete Skalierung dergestalt modifiziert werden, dass es bei ihrer Lösung zum einen zu keiner Übersteuerung, zum anderen jedoch zu einer stets möglichst guten Ausnutzung des Wertebereiches von +/−1 Maschineneinheit kommt, um Rechenfehler gering zu halten. In dieser Hinsicht kann ein elektronischer Analogrechner mit gewissem Recht mit einem digitalen Festkommasystem verglichen werden, das über ähnliche Einschränkungen hinsichtlich des Wertebereiches verfügt. Mit vertretbarem Aufwand war in den 1970er Jahren mit transistorbasierten Analogrechnern eine Genauigkeit von 4 Dezimalstellen erreichbar. In den meisten Fällen war dies mehr als ausreichend, da die Parameter des simulierten Modells nur wesentlich ungenauer bestimmt werden konnten.

Die meisten kommerziell verfügbaren Analogrechner besaßen ein zentrales Buchsenfeld (Patchfeld), auf dem mit Hilfe von Steckverbindungen (bei Präzisionsrechnern wurden abgeschirmte Leitungen verwendet) die jeweiligen Rechenschaltungen zur Lösung einer Fragestellung aufgebaut wurden. Ein Wechsel von einer Schaltung zur nächsten erforderte das Austauschen eines Schaltbretts (mit dem Buchsenfeld) sowie eine entsprechende Einstellung der Koeffizientenpotentiometer, so dass ein vergleichsweise schneller Wechsel zwischen Problemen möglich war.

• Beispiele von Analogrechnersystemen
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  Analogrechner-Programmierung per Steckfeld und Potentiometer (Boeing, 1953)
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  Elektronischer Analogrechner AKAT-1 von Jacek Karpiński in Polen (1959)
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  Elektronischer Newmark-Analogrechner (1960)
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  Analogrechner PACE 231R für Simulation des Experimentalflugzeugs X-15
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  Schaltbrett des Hybridrechners EAI-8800 zur Simulation eines Rad-Schiene-Systems (1985)
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  Schaltbrett des Hybridrechners EAI-8800 (Rückansicht der Kontaktebene)

Beispiel: Zellulärer Automat

Analogschaltung für einen Irrgarten

Analogschaltung für Grundwasser

In der Frühzeit der Entwicklung elektronischer Analogrechner gab es Ansätze, Probleme durch das Bilden direkter Analogien mit Hilfe hauptsächlich passiver Elemente wie Widerständen, Kondensatoren und Spulen anzugehen.

Die Wege durch einen Irrgarten können mit einem Netzwerk von Widerständen entsprechend der jeweiligen Teillänge eines Abschnitts modelliert werden. Wenn man eine Spannung zwischen dem Eingang und dem Ausgang anlegt, findet man den kürzesten Weg, indem man an jeder Gabelung die Richtung mit dem größten Stromfluss nimmt. Das Grundprinzip der Lösung beruht auf der Stromaufteilung durch ein Widerstandsnetzwerk mit parallelen und seriellen Elementen. Auf ähnliche Weise würde sich ein Wasserstrom den schnellsten Weg durch den Irrgarten suchen, sofern zwischen Eingang und Ausgang ein stetiges Gefälle vorliegt.

Funktionell weitergehend ist der Aufbau eines analogen zellulären Automaten zur Simulation von Grundwasserströmungen mit unterirdischen Speichern. Man stellte ein zweidimensionales Feld aus Kondensatoren zusammen, deren Kapazität dem Wasserspeichervermögen eines kleinen Teilgebietes des Bodens entsprach, und verband diese dann mit Widerständen mit ihren direkten Nachbarn, wobei die Leitfähigkeit der Widerstände der Wasserdurchlässigkeit des entsprechenden Teilgebietes des Bodens entsprach. Dazu kamen nun Quellgebiete als über Widerstände geregelte Spannungseinleitungen, und Brunnen als über Widerstände geregelte Spannungsableitungen. Die an den Knotenpunkten dieses Netzes gemessene Spannung des Kondensators (also das Integral der Summe aller Ladeströme) entsprach dann dem zu erwartenden Grundwasserstand, und die Ströme in den Widerständen entsprachen der zu erwartenden Grundwasserströmung.

Beispiel: Schwingungsgleichung eines Federpendels

Analogrechenschaltung zur Simulation eines Federpendels (ohne Skalierung auf Maschineneinheiten)

Das Haupteinsatzgebiet von Analogrechnern ist das Lösen von Differentialgleichungen. Eine Schwingungsgleichung ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, wie sie für ein Federpendel durch ${\displaystyle m{\ddot {y}}+d{\dot {y}}+cy=mg}$ beschrieben wird. Hierbei ist ${\displaystyle y}$ die vertikale Auslenkung einer Masse ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle d}$ die Dämpfungskonstante, ${\displaystyle c}$ die Federkonstante und ${\displaystyle g}$ die Erdbeschleunigung. Für den Analogrechner wird die Gleichung nach ${\displaystyle {\ddot {y}}}$ aufgelöst und erhält damit die Form ${\displaystyle {\ddot {y}}=-{\tfrac {d}{m}}{\dot {y}}-{\tfrac {c}{m}}y-g}$. Die zugehörige Rechenschaltung benötigt zwei Integrierer mit den Zustandsgrößen ${\displaystyle -{\dot {y}}}$ für die Geschwindigkeit bzw. ${\displaystyle y}$ für die Position der Masse, einen Summierer für die Invertierung von ${\displaystyle y}$ auf ${\displaystyle -y}$ und drei Potentiometer für die Koeffizienten. Diese Komponenten werden durch insgesamt acht Steckkabel verbunden. Hierbei ist zu berücksichtigen, dass Integrierer und Summierer eines Analogrechners die Eingangssignale ebenso wie Operationsverstärker invertieren.

Die notwendigen Skalierungen auf Maschineneinheiten ergeben sich intuitiv durch die Größenordnungen der physikalischen Zustandsgrößen (in den physikalischen Einheiten ${\displaystyle m}$ bzw. ${\displaystyle {\tfrac {m}{s}}}$) bzw. durch die Quotienten der Koeffizienten in Verbindung mit wählbaren Eingangsverstärkungen der Integrierer (typisch 1, 10, 100). Die Lösung ergibt eine linear gedämpfte Schwingung mit einer stabilen Endlage bei ${\displaystyle y={\tfrac {m}{c}}g}$ aufgrund der irdischen Schwerkraft und der Federkonstante.

Beispiel: Sinuslauf eines Rad-Schiene-Systems

Animierte Darstellung des Sinuslaufs

Das dynamische Verhalten eines Drehgestells in einem Rad-Schiene-System erfordert ein komplexes nichtlineares Simulationsmodell. Bei höheren Geschwindigkeiten neigt das System zum Schwingen, dem sog. Sinuslauf, und sogar, bei ungenügender Auslegung, zu Instabilität. Der Kontakt zwischen dem Rad und der Schiene ist aufgrund der Profilierung des Spurkranzes, der das Entgleisen verhindert, nichtlinear und die Freiheitsgrade sind miteinander verkoppelt. Ein Eisenbahnwaggon mit zwei Drehgestellen hat ca. 50 bis 70 Zustandsgrößen und ist daher selbst mit dem größten Hybridrechner EAI-8800^[5] nicht mehr darstellbar. Dessen Simulation erfordert daher das Zusammenschalten von mehreren Hybridrechnern und das Multiplexen der Kräfte an einem Rad, um damit die Zustandsgrößen der Radsätze eines Drehgestells zu ermitteln.^[6] Mit dem zugeordneten Digitalrechner wurden Optimierungsrechnungen durch Variationen der Parameter der Hybridsimulation durchgeführt, um ein möglichst verschleißarmes und stabiles Laufverhalten zu erzielen.^[7]

Hybridrechner

→ Hauptartikel: Hybridrechner

Gegen Ende der 1960er Jahre wurden auch vermehrt so genannte Hybridrechner entwickelt und eingesetzt, die über digitale und analoge Rechenwerke verfügten, um so die Vorteile beider Techniken, der analogen sowie der digitalen zu vereinigen. Diese Kopplung ermöglichte erweiterte Simulationsmöglichkeiten mit komplexen Kennfeldern oder Optimierungsverfahren mit Variation von Parametern. Die Umwandlung zwischen den Darstellungsarten mit kontinuierlichen (meist elektrische Spannungen) beziehungsweise numerischen Werten erfolgte mit Analog-Digital- beziehungsweise Digital-Analog-Wandlern.

Sonstiges

Modulare Synthesizer entsprechen in ihrem Aufbau elektronischen Analogrechnern. Berühmte Hersteller von mathematischen Instrumenten waren Amsler (Schaffhausen), Coradi (Zürich) und Ott (Kempten). Integrieranlagen stammten z. B. von Telefunken, Amsler und Contraves.

Literatur

• Wolfgang Giloi, Rudolf Lauber: Analogrechnen. Springer, 1963.
• Sigvard Strandh: Die Maschine – Geschichte, Elemente, Funktion. Herder, 1980, ISBN 3-451-18873-2, S. 191.
• Achim Sydow: Programmierungstechnik für elektronische Analogrechner. VEB Verlag Technik, 1964.
• H. Adler, G. Neidhold: Elektronische Analog- und Hybridrechner. Nr. 206-435/197/74. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (Ost) 1974.
• Herbert Bruderer: Meilensteine der Rechentechnik. Band 1: Mechanische Rechenmaschinen, Rechenschieber, historische Automaten und wissenschaftliche Instrumente, 2., stark erw. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2018, ISBN 978-3-11-051827-6
• Bernd Ulmann: Analogrechner, Wunderwerke der Technik – Grundlagen, Geschichte und Anwendung. 2010, ISBN 978-3-486-59203-0.
• James S. Small: The analogue alternative. The electronic analogue computer in Britain and the USA, 1930–1975, Routledge 2001
• Bernd Ulmann: Analog Computing. Walter de Gruyter, Berlin 2023, ISBN 978-3-11-078761-0.

Weblinks

Commons: Analog computers – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Analogrechner – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Das Analogrechnermuseum Sammlung elektronischer Analogrechner mit umfangreicher Dokumentation zum Download sowie vielen praktischen Beispielen.
• Darstellung eines Joukowski-Profils mit Strömungslinien auf einem Analogrechner
• Historische Analog- und Hybridrechner mit Detailbildern ihrer Steckbretter
• Neueres Forschungsprojekt FACETS (Fast Analog Computing with Emergent Transient States)
• Vortrag von Bernd Ulmann auf dem Vintage Computing Festival Berlin (VCFB) 2015 über Analogrechnerprogrammierung und dem Easterhegg 2017 über Analogrechnen

Einzelnachweise

1. Alfred Schmidt: Was die Echtzeitsimulation heute leistet (Teil 1). Hrsg.: Elektronik. Nr. 17/1992. Franzis-Verlag, München 18. August 1992, S. 52–57.
2. Erster deutscher Gezeitenrechner von 1914 in Wilhelmshaven
3. Helmut Hoelzer’s Fully Electronic Analog Computer used in the German V2 (A4) rockets. (PDF-Datei; 497 kB)
4. Boris Jewsejewitsch Tschertok: Raketen und Menschen. Deutsche Raketen in Sowjethand. Elbe-Dnjepr-Verlag, Klitzschen 1998, ISBN 3-933395-00-3, S. 251 f. (500 S.).
5. System Description EAI-8800 Scientific Computing System. (PDF; 2,62 MB) Electronic Associates, Inc. (EAI), 1. Mai 1965, abgerufen am 5. September 2019 (englisch).
6. Alfred Schmidt; Lutz Mauer: Hybrid Simulation of the Nonlinear Dynamics of High-speed Railway Vehicles , Springer-Verlag, 1988
7. Peter Meinke, A. Mielcarek: Design and Evaluation of Trucks for High-Speed Wheel/Rail Application. Hrsg.: International Centre for Mechanical Sciences. Band 274. Springer, Wien 1982, S. 281–331 (englisch).