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Affine Hülle ist ein universeller Begriff aus der mathematischen Theorie der affinen Räume. Nahe verwandt ist der Begriff der linearen Hülle. Man nennt die affine Hülle von auch Verbindungsraum, vor allem dann, wenn die Teilmenge selbst eine Vereinigung von zwei oder mehr affinen Teilräumen ist.
Sei der zu einem -Vektorraum gehörende affine Raum und eine Teilmenge von . Dann ist die affine Hülle von der kleinste affine Teilraum von , der die Menge ganz enthält.
Mit den Bezeichnungen aus der Definition wird aus ein beliebiger Punkt gewählt. Er dient als Aufpunkt der affinen Hülle. Dann wird zur Menge der Verbindungsvektoren die lineare Hülle gebildet. ist die Menge aller endlichen Linearkombinationen von Elementen aus , also die lineare Hülle von in dem Vektorraum, der zum affinen Raum gehört. Dieser Teil der Konstruktion ist ausführlicher im Artikel Lineare Hülle beschrieben. Nun ist die affine Hülle von .
Die affine Hülle der leeren Menge ist die leere Menge.
Die affine Hülle einer beliebigen Teilmenge eines affinen Raumes
Die Abbildung, die jeder Teilmenge eines affinen Raumes ihre lineare Hülle zuordnet, ist ein Hüllenoperator.
In der Menge der affinen Teilräume eines affinen Raumes (einschließlich der leeren Menge und des Gesamtraums) kann man die Operation „bilde die affine Hülle der Vereinigungsmenge“ als zweistellige Verknüpfung einführen, hier wird, wenn sind, für diese affine Hülle geschrieben, sie wird dann auch als Verbindungsraum der Teilräume bezeichnet. Die dazu duale Verknüpfung ist dann die Schnittmengenbildung. Mit diesen Verknüpfungen bildet dann einen Verband.
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