Sterntetraeder

Das Sterntetraeder, auch bekannt als Sternkörper zum Oktaeder, als Stella Octangula und als Keplerstern, ist ein achtstrahliger Stern und gehört zu den nicht-konvexen Deltaedern. Es handelt sich um einen vielflächigen Körper, der durch Verschmelzung zweier punktsymmetrischer Tetraeder entsteht. Das Sterntetraeder ist kein Sternkörper, weil nicht in allen Ecken gleich viele Flächen zusammentreffen.

Sterntetraeder

Im Würfel sind zwei Tetraeder zu finden, die zum Sterntetraeder verschmelzen.

Benannt durch Johannes Kepler im Jahr 1609, ist dies sowohl das einfachste reguläre zusammengesetzte Polyeder als auch das einfachste nicht-konvexe gleichmäßige Polyeder. Erstmals dargestellt wurde er durch Leonardo da Vinci in Luca Paciolis De Divina Proportione 1509.

Der Grafiker M. C. Escher hat das Sterntetraeder als Motiv für das Bild Doppelplanetoid verwendet: Das eine Tetraeder hat die Form einer von Menschen bewohnten Burg, während das andere eine mit dem ersten durchdrungene, von Dinosauriern bewohnte Welt darstellt.^[1]

Eigenschaften

Die äußeren Eckpunkte des Körpers beschreiben einen Würfel, während die Schnittmenge der beiden Tetraeder ein Oktaeder darstellt, dessen Kanten wiederum die Innenkanten des Sterntetraeders darstellen.

Das Sterntetraeder ist die erste Stufe der konvexen Form des Sierpinski-Oktaeders.^[2] Aus den acht kleinen Tetraedern können wieder Sterntetraeder gemacht werden, und dieser Vorgang kann wiederholt werden, so dass schließlich ein Fraktal entsteht, welches sich der Form eines Hexaeders annähert.^[3][4]

Das Sterntetraeder kann als dreidimensionales Hexagramm angesehen werden: Das Hexagramm ist eine zweidimensionale Figur, die aus zwei überlappenden gleichseitigen Dreiecken gebildet wird, die punktsymmetrisch zueinander sind. Auf ähnliche Weise kann das Sterntetraeder aus zwei punktsymmetrisch überlappenden regelmäßigen Tetraedern gebildet werden. Dies kann auf höhere Dimensionen verallgemeinert werden. Die vierdimensionale äquivalente Konstruktion ist die Verbindung von zwei Pentachorons.

Das Sterntetraeder kann auch als Iterationsschritt beim Erzeugen einer dreidimensionalen „Koch-Kurve“ angesehen werden. Das ist ein Fraktals, das durch wiederholtes Hinzufügen kleinerer Tetraeder an jeder dreieckigen Fläche einer größeren Figur gebildet wird. Der Iterationsschritt 0 der dreidimensionalen „Koch-Kurve“ ist ein einzelnes Tetraeder, und der Iterationsschritt 1, der durch Hinzufügen von vier kleineren Tetraedern an die Flächen des zentralen Tetraeders gebildet wird, ist das Sterntetraeder.

Formeln

Körpernetz eines Sterntetraeders

Größen eines Sterntetraeders mit Kantenlänge a bzw. b = a/2
Volumen	${\displaystyle V={\frac {a^{3}}{8}}\cdot {\sqrt {2}}=b^{3}\cdot {\sqrt {2}}}$	Raumwinkel ${\displaystyle \Omega }$ in den Ecken siehe Tetraeder
Oberflächeninhalt	${\displaystyle O={\frac {3}{2}}\cdot a^{2}\cdot {\sqrt {3}}=6\cdot b^{2}\cdot {\sqrt {3}}}$
Umkugelradius	${\displaystyle r_{u}={\frac {a}{4}}\cdot {\sqrt {6}}={\frac {b}{2}}\cdot {\sqrt {6}}}$
Kantenkugelradius	${\displaystyle r_{k}={\frac {a}{4}}\cdot {\sqrt {2}}={\frac {b}{2}}\cdot {\sqrt {2}}}$
Inkugelradius	${\displaystyle r_{i}={\frac {a}{2\cdot {\sqrt {6}}}}={\frac {b}{\sqrt {6}}}}$
Raumdiagonale	${\displaystyle d_{R}=2\cdot r_{u}={\frac {a}{2}}\cdot {\sqrt {6}}=b\cdot {\sqrt {6}}}$
Kantenabstand	${\displaystyle d=2\cdot r_{k}={\frac {a}{2}}\cdot {\sqrt {2}}\approx 0{,}707\cdot a}$
Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen	${\displaystyle {\frac {V}{V_{UK}}}={\frac {\sqrt {3}}{3\cdot \pi }}\approx 0{,}184}$
Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks	${\displaystyle \alpha =60^{\circ }}$
Winkel zwischen benachbarten Flächen	${\displaystyle \beta =\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)}$  ${\displaystyle \approx 109^{\circ }\;28^{\prime }\;16^{\prime \prime }}$
Winkel zwischen Kante und Fläche	${\displaystyle \gamma =\arctan \left({\sqrt {2}}\right)}$  ${\displaystyle \approx 54^{\circ }\;44^{\prime }\;8^{\prime \prime }}$
Tetraederwinkel	${\displaystyle \tau =\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 109^{\circ }\;28^{\prime }\;16^{\prime \prime }}$
Raumwinkel in den Ecken	${\displaystyle \Omega =\arccos \left({\frac {23}{27}}\right)\approx 0{,}5512856\;\mathrm {sr} }$
Sphärizität	${\displaystyle \Psi ={\sqrt[{3}]{\frac {\pi }{9{\sqrt {3}}}}}\approx 0{,}586}$

• Das Volumen des Sterntetraeders ist gleich der Summe der Volumina von einem Oktaeder und 8 aufgesetzten Tetraedern mit jeweils halber Kantenlänge ${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$. Es füllt den umgrenzenden Würfel mit dem Volumen ${\displaystyle {\frac {a^{3}}{4}}\cdot {\sqrt {2}}=2\cdot b^{3}\cdot {\sqrt {2}}}$ zur Hälfte aus.
• Der Umkugelradius des Sterntetraeders entspricht dem eines einzelnen Tetraeders.

Anwendung in der Kunst

• 
  Wandmalerei eines Sterntetraeders in der Boris-und-Gleb-Kirche in Kidekscha
• 
  Weitere Wandmalerei eines Sterntetraeders in der Boris-und-Gleb-Kirche
• 
  Abtei Jovilliers (Stainville, Lothringen)

Weblinks

Commons: Sterntetraeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Stella Octangula. In: MathWorld (englisch).
• Stellated Octahedron Calculator (Web Application zum Berechnen)

Einzelnachweise

1. M. C. Escher: Double Planetoid.
2. Keplerian Fractals (Memento vom 16. März 2015 im Internet Archive)
3. Approaching a Fractal Cube by a series of non-convex polyhedra
4. Keplerian Fractals