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Siebeneck nach Archimedes
Konstruktionsverfahren von Archimedes für ein regelmäßiges Siebeneck / aus Wikipedia, der freien encyclopedia
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Das Siebeneck nach Archimedes (auch bekannt als Siebeneck im Kreise) bezeichnet das Konstruktionsverfahren von Archimedes für ein regelmäßiges Siebeneck. Es ist allerdings – wie jedes regelmäßige Siebeneck – nicht allein mit den klassischen Hilfsmitteln Zirkel und (unmarkiertem) Lineal exakt darstellbar.[A 1] Die bekannte Figur (siehe nebenstehendes Bild), von mehreren Übersetzern seines Werkes Siebeneck im Kreise als Neusis-Konstruktion bezeichnet, ist der überlieferten Ausarbeitung von Thabit ibn Qurra nachempfunden. Das darin eingezeichnete Siebeneck sowie dessen Umkreis sind nicht überliefert, sie dienen lediglich der Verdeutlichung. Es ist nicht bekannt, wie Archimedes das markierte Lineal zur Einschiebung (Neusis) nutzte, um den Punkt oder
zu bestimmen.
- Als Ansatz dient: Die Strecke
ist gleich der Seitenlänge
eines Siebenecks, wenn die beiden Dreiecke
und
den gleichen Flächeninhalt haben.
![Siebeneck nach Archimedes](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/01_Siebeneck-Archimedes-Einleitungsbild.svg/320px-01_Siebeneck-Archimedes-Einleitungsbild.svg.png)
Die Aufgabe verlangt zu Beginn ein beliebiges Quadrat mit Verlängerung der Seite
über
hinaus und die Diagonale
. Für die Weiterführung der Konstruktion sind zwei Varianten überliefert. Bei der ersten – die Archimedes zugeschrieben wird – bedarf es noch einer Transversalen, also einer ab Punkt
schräg durch das Quadrat verlaufenden Halbgeraden. Dabei schneidet sie die Diagonale
im Punkt
, die Quadratseite
im Punkt
und bestimmt auf der Verlängerung den gesuchten Punkt
(Abschnitt Konstruktion von Archimedes). Bei der zweiten Variante wird der Teilungspunkt
auf der Quadratseite
festgelegt und eine Parallele zu
ab
gezogen. Dabei entsteht der Schnittpunkt
auf der Diagonale
und
auf
(Abschnitt Teilungspunkt
mithilfe eines Funktionsgraphen). In beiden Konstruktionsvarianten besitzen die erzeugten Dreiecke
und
den gleichen Flächeninhalt, sodass gilt:
und
.
Diese zwei Varianten sowie zwei zusätzliche, die ebenfalls den Endpunkt bestimmen (Abschnitte Endpunkt M mithilfe eines markierten Lineals und Endpunkt M mithilfe zweier Zickzacklinien) werden im Folgenden auf unterschiedliche Art und Weise erörtert. Wurde die Seitenlänge
auf diese Art und Weise ermittelt, können anschließend, durch eine einfache weiterführende Konstruktion bei gegebenem Umkreis bzw. bei gegebener Seitenlänge, Siebenecke als Konstruktion mit Zirkel und unmarkiertem Lineal bestimmt werden.