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Satz von Pappos
mathematischer Satz / aus Wikipedia, der freien encyclopedia
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Der Satz von Pappos (Pappus), gelegentlich auch Satz von Pappos-Pascal genannt, ist ein zentraler Satz in der affinen und projektiven Geometrie.[1] Er tauchte erstmals als Proposition 139 im VII. Buch der Mathematischen Sammlungen des antiken griechischen Mathematikers Pappos von Alexandria auf.[2] Blaise Pascal fand im 17. Jahrhundert eine Verallgemeinerung des Satzes, den nach ihm benannten Satz von Pascal, bei dem die sechs Grundpunkte des Satzes auf einem Kegelschnitt liegen.
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Der Satz lautet in seiner allgemeineren projektiven Form:
Liegen sechs Punkte einer projektiven Ebene abwechselnd auf zwei Geraden
und
, so sind die Punkte
kollinear, d. h., sie liegen auf einer Geraden (siehe Bild).
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bd/Pappus-aff.svg/300px-Pappus-aff.svg.png)
Sind die beiden Geraden und
durch die Sechseckpunkte und die Gerade
kopunktal, so spricht man auch vom kleinen Satz von Pappos.
Da sich zwei Geraden in einer affinen Ebene nicht unbedingt schneiden, wird der Satz zusätzlich noch in einer spezielleren affinen Form formuliert:
Liegen sechs Punkte einer affinen Ebene abwechselnd auf zwei Geraden
und
und sind sowohl das
- Geradenpaar
als auch das
- Geradenpaar
parallel,
so sind auch und
parallel (s. Bild).
Im projektiven Abschluss der zugrunde liegenden affinen Ebene schneiden sich die drei parallelen Geradenpaare auf der uneigentlichen Geraden , und es entsteht die projektive Form des Satzes von Pappos.