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Die reell abgeschlossenen Körper sind in der Algebra Körper, die mit dem Körper der reellen Zahlen einige wesentliche Eigenschaften gemeinsam haben: Zum Beispiel haben Polynome mit ungeradem Grad dort stets eine Nullstelle und diese Körper lassen sich mit einer durch die Körperstruktur eindeutig bestimmten Ordnungsrelation ausstatten, mit der sie zu geordneten Körpern werden.
Ein reell abgeschlossener Körper ist maximal unter den formal reellen Körpern, das sind die Körper, auf denen überhaupt eine strukturverträgliche Ordnung definiert werden kann: Jede echte algebraische Körpererweiterung zerstört die Möglichkeit, den reell abgeschlossenen Körper anzuordnen. Gleichzeitig ist er „beinahe“ algebraisch abgeschlossen: Jede echte algebraische Körpererweiterung macht ihn zu einem algebraisch abgeschlossenen Körper.
Das hier beschriebene mathematische Konzept, das neben dem Begriff des reell abgeschlossenen Körpers auch Begriffe wie formal reeller Körper, pythagoreischer Körper und euklidischer Körper hervorgebracht hat, beschreibt bestimmte Eigenschaften der reellen Zahlen algebraisch und benutzt solche Beschreibungen zur axiomatischen Definition einer Klasse von Körpern mit diesen Eigenschaften.
Ein Körper heißt reell abgeschlossen, falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen zutrifft: Er ist formal reell und
Bei der Definition der reell abgeschlossenen Körper werden zwei wesentliche Eigenschaften der reellen Zahlen berücksichtigt:
Körper, die eine Anordnung zulassen, also die erste Anordnungseigenschaft mit den reellen Zahlen teilen, heißen formal reell, eine rein algebraische Definition lautet:
Bei jedem Körper, der genau eine Anordnung zulässt, kann diese durch die folgende Definition rein algebraisch beschrieben werden:
Anders formuliert: Eine Zahl ist genau dann positiv, wenn sie in der Quadratklasse von 1 liegt. Die Existenz genau einer Anordnung ist äquivalent dazu, dass genau zwei Quadratklassen, nämlich die von +1 und die von −1 im Körper der Charakteristik 0 enthalten sind. → Ein Körper, der sich auf genau eine Art anordnen lässt, wird als euklidischer Körper bezeichnet.
Die reellen Zahlen haben die Eigenschaft, dass die spezielle Körpererweiterung jede Anordnung als geordneter Körper unmöglich macht. Diese Eigenschaft teilen sie mit jedem formal reellen Körper, da ein Körper nie angeordnet werden kann, wenn in ihm die Quadratklassen von −1 und 1 zusammenfallen. Interessant ist hier, welche algebraischen Erweiterungen überhaupt noch durchführbar sind, ohne dass −1 zur Quadratzahl wird und damit keine Anordnung mehr möglich ist:
Zunächst kann man mit Hilfe der Existenz des algebraischen Abschlusses zeigen, dass jeder formal reelle Körper einen reell abgeschlossenen Oberkörper besitzt:
Indem man diesen Satz auf den kleinsten algebraischen Abschluss anwendet, erhält man:
Für angeordnete Körper kann man diese Aussage wesentlich verschärfen:
Zur Konstruktion adjungiert man alle Quadratwurzeln aus positiven Elementen von und zeigt, dass der so entstehende Körper formal reell ist. Darauf wendet man obigen Satz an und erhält eine algebraische und reell abgeschlossene Erweiterung, von der man dann noch die Eindeutigkeitsaussage zu zeigen hat. Im Falle eines angeordneten Körpers kann man also von dem reellen Abschluss sprechen.
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