Prismatoid

Ein Prismatoid ist ein geometrischer Körper. Es handelt sich um ein Polyeder mit parallelen Polygonen als Grund- und Deckfläche sowie Dreiecken, Trapezen oder Parallelogramme als Seitenflächen. Im Unterschied zum Prisma müssen Grund- und Deckfläche weder kongruent sein noch die gleiche Eckenzahl besitzen. Ein Prismatoid, bei dem Grund- und Deckflächen Polygone gleicher Eckenzahl sind und dessen Seitenflächen nur aus Trapezen und Parallelogrammen bestehen, wird auch als Prismoid bezeichnet.^[1][2]

Das Volumen ${\displaystyle V}$ eines Prismatoids lässt sich nach der Formel^[3]

${\displaystyle V={\frac {h}{6}}(A_{G}+4A_{S}+A_{D})}$

berechnen. Dabei sind ${\displaystyle A_{G}}$ die Grundfläche, ${\displaystyle A_{S}}$ die Fläche bei mittlerer Höhe, ${\displaystyle A_{D}}$ die Dachfläche und ${\displaystyle h}$ die Höhe.

Dies ist eine der berühmtesten und universellsten Volumenformeln. Zu Ehren ihres Entdeckers Johannes Kepler heißt sie Keplersche Fassregel.^[3]

Zu den Prismatoiden zählen:

• 
  Pyramiden
• 
  Keile
• 
  Parallelepipede
• 
  Prismen
• 
  Antiprismen
• 
  Kuppeln
• 
  Pyramidenstümpfe
• 
  Quader

Kein Prismatoid im eigentlichen Sinne der Definition ist das Scutoid, da es aufgrund gekrümmter Begrenzungsflächen kein Polyeder ist.

Literatur

• Amos Day Bradley: Prismatoid, Prismoid, Generalized Prismoid. In: The American Mathematical Monthly. Band 86, Nr. 6, Juni/Juli 1979, S. 486–490, JSTOR:2320427.
• Bruce E. Meserve, Robert E. Pingry: Some Notes on the Prismoidal Formula. In: The Mathematics Teacher. Band 45, Nr. 4, April 1952, S. 257–263, JSTOR:27954012.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: A Mathematical Space Odyssey. Solid Geometry in the 21st Century (= The Dolciani Mathematical Expositions. 50). The Mathematical Association of America, Washington DC 2015, ISBN 978-0-88385-358-0, S. 85–89.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Prismatoid. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: A Mathematical Space Odyssey. Solid Geometry in the 21st Century (= The Dolciani Mathematical Expositions. 50). The Mathematical Association of America, Washington DC 2015, ISBN 978-0-88385-358-0, S. 85-89.
2. Anmerkung: In der deutschen Literatur wird gelegentlich nicht zwischen Prismatoid und Prismoid unterschieden und die Begriffe stattdessen synonym verwendet, so z. B. bei Nitschke.
3. Martin Nitschke: Geometrie. Anwendungsbezogene Grundlagen und Beispiele für Ingenieure. 2., aktualisierte Auflage. Fachbuchverlag Leipzig im Carl-Hanser-Verlag, München 2014, ISBN 978-3-446-44143-9, S. 50-51.