Prisma (Geometrie)

Ein Prisma (Mehrzahl: Prismen) ist ein geometrischer Körper, der durch Parallelverschiebung eines ebenen Polygons entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum entsteht. Man spricht auch von einer Extrusion des Vielecks. Ein Prisma ist damit ein spezielles Polyeder.

Ein Prisma mit einem Sechseck als Grundfläche

Das gegebene Polygon wird als Grundfläche bezeichnet, die gegenüberliegende Seitenfläche als Deckfläche. Die Gesamtheit aller übrigen Seitenflächen heißt Mantelfläche. Die Seitenkanten des Prismas, die Grundfläche und Deckfläche verbinden, sind zueinander parallel und alle gleich lang. Grundfläche und Deckfläche sind zueinander kongruent und parallel. Der Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche heißt Höhe ${\displaystyle h}$ des Prismas.

Gerades und schiefes Prisma

A: gerades Prisma; B: schiefes Prisma

Spezialfall eines schiefen Prismas: Parallelepiped, hier sogar ein Rhomboeder

Erfolgt die Parallelverschiebung des Polygons senkrecht zur Grundfläche, spricht man von einem geraden Prisma, ansonsten von einem schiefen Prisma. Die Mantelfläche eines geraden Prismas besteht aus Rechtecken, im allgemeinen Fall besteht sie aus Parallelogrammen. Ein gerades Prisma mit einem regelmäßigen Polygon als Grundfläche wird als reguläres Prisma bezeichnet.

Der zu einem geraden Prisma duale Körper ist eine Doppelpyramide.

Reguläres Prisma

Ein gerades Prisma mit einem regelmäßigen Vieleck als Grundfläche wird als reguläres Prisma bezeichnet. Alle regulären Prismen besitzen eine Umkugel, weil alle Ecken gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind. Der Würfel ist das einzige gleichseitige Prisma mit einer Inkugel.

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  dreieckiges Prisma
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  viereckiges Prisma
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  fünfeckiges Prisma
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  sechseckiges Prisma
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  siebeneckiges Prisma
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  achteckiges Prisma
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  neuneckiges Prisma
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  zehneckiges Prisma
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  elfeckiges Prisma
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  zwölfeckiges Prisma

Formeln

Größen eines regelmäßigen Prismas (regelmäßiges n-Eck mit Seitenlänge a als Grundfläche und Höhe h)

	Allgemeiner Fall	Quadratisches Prisma	Regelmäßiges Dreiecksprisma
Grundfläche ${\displaystyle A_{g}}$	${\displaystyle \left({\frac {n}{4}}\cot \!{\frac {\pi }{n}}\right)a^{2}}$	${\displaystyle a^{2}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}\ a^{2}}$
Volumen ${\displaystyle V}$	${\displaystyle \left({\frac {n}{4}}\cot \!{\frac {\pi }{n}}\right)a^{2}h}$	${\displaystyle a^{2}h}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}\ a^{2}h}$
Oberflächeninhalt ${\displaystyle O}$	${\displaystyle {\frac {an}{2}}\ \left(2h+a\ \cot {\frac {\pi }{n}}\right)}$	${\displaystyle a^{2}+a{\sqrt {4h^{2}+a^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {3a}{4}}\left({\sqrt {3}}\ {\frac {a}{3}}+{\sqrt {4h^{2}+{\frac {a^{2}}{3}}}}\right)}$
Umkugelradius ${\displaystyle r_{u}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {h^{2}+{\frac {a^{2}}{\sin ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {h^{2}+2a^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {h^{2}+{\frac {4a^{2}}{3}}}}}$
Innenwinkel der regelmäßigen Grundfläche ${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle {\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$
Winkel zwischen Grundfläche und Rechtecken ${\displaystyle \beta _{1}}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$
Winkel zwischen den Rechtecken ${\displaystyle \beta _{2}}$	${\displaystyle {\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$
Raumwinkel in den Ecken ${\displaystyle \Omega }$	${\displaystyle {\frac {n-2}{n}}\cdot \pi \ \mathrm {sr} }$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\ \mathrm {sr} }$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}\ \mathrm {sr} }$

Sonderfälle und Verallgemeinerung

Besondere Formen des Prismas sind die Quader und Würfel. Bei diesen kann jede Seite als Grundfläche des Prismas aufgefasst werden.

In der Optik versteht man unter einem Prisma meistens ein gerades Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche, siehe Prisma (Optik).

Das Prisma ist in der Mathematik ein Spezialfall des allgemeinen Zylinders.

Symmetrie

Jedes Prisma mit einer punktsymmetrischen Grundfläche ist selbst punktsymmetrisch.

Formeln für Volumen, Mantelfläche und Oberfläche

Das Volumen ${\displaystyle V}$ eines Prismas ist gegeben durch

${\displaystyle V=G\cdot h}$,

wobei ${\displaystyle G}$ den Flächeninhalt der Grundfläche und ${\displaystyle h}$ die Höhe des Prismas bezeichnet. Aus dem Prinzip von Cavalieri folgt, dass zwei Prismen (etwa ein gerades und ein schiefes Prisma) bei gleicher Grundfläche und Höhe das gleiche Volumen besitzen.

Die Mantelfläche ${\displaystyle M}$ eines geraden Prismas ist gegeben durch

${\displaystyle M=U\cdot h}$,

wobei ${\displaystyle U}$ für den Umfang der Grundfläche und ${\displaystyle h}$ für die Höhe des Prismas steht.

Die gesamte Oberfläche ${\displaystyle O}$ eines Prismas ergibt sich aus

${\displaystyle O=2\cdot G+M}$,

wobei ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle M}$ dem Inhalt von Grundfläche und Mantelfläche entsprechen.

Umkugel

Nur gerade Prismen mit einer Grundfläche, welche einen Umkreis besitzt, haben eine Umkugel. Alle regulären Prismen und alle geraden Dreiecksprismen besitzen daher eine Umkugel. Der Radius ${\displaystyle R}$ der Umkugel bei gegebener Höhe ${\displaystyle h}$ und gegebenem Umkreisradius ${\displaystyle r}$ berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras zu:

${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+{\frac {h^{2}}{4}}}}}$

Inkugel

Sowohl gerade wie auch schiefe Prismen können eine Inkugel haben.

Bei gegebener Höhe ${\displaystyle h}$ eines Prismas ergibt sich der Radius ${\displaystyle R}$ der Inkugel zu:

${\displaystyle R={\frac {h}{2}}}$

Voraussetzung für die Existenz einer Inkugel:

1. Es gibt eine gedachte Ebene, die senkrecht auf allen Parallelogrammen des Mantels steht. Der Schnitt dieser Ebene mit den Parallelogrammen ergibt ein Polygon.
2. Das Polygon aus 1 besitzt einen Inkreis.
3. Der Radius dieses Inkreises beträgt ${\displaystyle h/2}$.

Kantenkugel

Nur gerade Prismen mit einem regelmäßigen Polygon als Grundfläche und gleicher Länge aller Kanten haben eine Kantenkugel. Der Mantel solcher Prismen wird also aus Quadraten gebildet. Bei gegebenem Umkreisradius ${\displaystyle r}$ ergibt sich der Radius ${\displaystyle R}$ der Kantenkugel zu:

${\displaystyle R=r}$

Siehe auch

• Antiprisma
• Prismatoid

Literatur

• Prisma. In: Meyers Großes Konversations-Lexikon. 6. Auflage. Band 16: Plaketten–Rinteln. Bibliographisches Institut, Leipzig / Wien 1908, S. 354 (Digitalisat. zeno.org).
• Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 21./22. Auflage. 1981, S. 196.

Weblinks

Commons: Prismen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Prisma – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Prisma. mathematische-basteleien.de
• Eric W. Weisstein: Prism. In: MathWorld (englisch).