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Methematik: Analysis Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Die Nepersche Ungleichung (englisch Napier’s inequality) ist eine Ungleichung des mathematischen Teilgebiets der Analysis, die auf den schottischen Mathematiker John Napier (1550–1617) zurückgeht. Sie liefert elementare untere und obere Abschätzungen für den reellen natürlichen Logarithmus.[1]
Die Ungleichung lautet folgendermaßen:[1]
Für die Steigungen der Tangenten , und der Sehne gilt:
woraus unmittelbar die Nepersche Ungleichung folgt. (siehe Figur 1)
Aus
folgt nach elementaren Umformungen und Stammfunktionsbildung
Also erhält man die Neperschen Ungleichung mittels Integralrechnung. Denn danach ist der mittlere Term von (N') nichts weiter als der Inhalt der Fläche unterhalb des Funktionsgraphs der reellen Kehrwertfunktion im Intervall . (siehe Figur 2)
Die beiden Herleitungen lassen sich durch grafische Veranschaulichungen unterstützen.[2][3]
Eine nützliche Anwendung der Neperschen Ungleichung ergibt sich, wenn man darin sowie – für eine natürliche Zahl – noch setzt.
Dann nämlich ergibt sich wegen und
und weiter
und schließlich
Durch Limesbildung erhält man dann
und es folgt aus Stetigkeitsgründen und durch Anwendung der Exponentialfunktion
Die Nepersche Ungleichung lässt sich erheblich verschärfen. Dies zeigt etwa die Ungleichung von Hermite-Hadamard, welche die Nepersche Ungleichung nach sich zieht. Denn berücksichtigt man hier die Tatsache, dass die Einschränkung der reellen Umkehrfunktion auf das Intervall der positiven Zahlen eine konvexe Funktion ist, so ergeben sich für sogleich die Abschätzungen
und damit
Für den Fall, dass insbesondere ist, hat man sogar die folgenden – und für diesen Fall besseren! – Abschätzungen:[5]
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