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Die Neil’sche Parabel (nach dem englischen Mathematiker William Neile benannt) oder semikubische Parabel[1] ist eine spezielle ebene algebraische Kurve, die durch eine Gleichung der Form
beschrieben werden kann. Auflösen nach ergibt die explizite Form
die Anlass für die Bezeichnung semikubische Parabel liefert.
(Eine gewöhnliche Parabel kann durch eine Gleichung beschrieben werden.)
Löst man (A) nach auf, so erhält man die Gleichung
Mit Hilfe der ersten Gleichung erkennt man, dass
eine Parameterdarstellung der Neilschen Parabel ist.
William Neile hatte erstmals die Bogenlänge dieser Kurve berechnet, die sog. Rektifizierung, und dies 1657 bekannt gemacht[2][3]. Aufgrund der Probleme bei der Rektifizierung von Ellipsen und Parabeln vermutete man zu dieser Zeit, dass der Kreis und die Gerade die einzigen rektifizierbaren algebraischen Kurven seien.
Die Neil’sche Parabel ist rational, es existiert also eine rationale Abbildung mit einer inversen rationalen Abbildung, die die Neil'sche Parabel auf die projektive Gerade abbildet.
Beweis: Die Ähnlichkeitsabbildung (Streckung am Ursprung) führt die Neilsche Parabel in die Kurve mit über.
Der Beweis folgt aus dem Tangentenvektor . Nur für ergibt sich der Nullvektor.
Für die Neilsche Einheitsparabel ergibt sich durch Differentiation die Gleichung der Tangente in einem Punkt des oberen Astes:
Diese Tangente schneidet die Kurve in genau einem weiteren Punkt des unteren Astes mit den Koordinaten[4]
(Beim Nachrechnen sollte man berücksichtigen, dass ein doppelter Schnittpunkt der Tangente mit der Kurve ist.)
Um die Bogenlänge einer parametrisierten Kurve zu bestimmen, muss man das unbestimmte Integral lösen. Für die Neilsche Parabel ist
(Das Integral lässt sich mit Hilfe der Substitution lösen.)
Beispiel: Für (Neilsche Einheitsparabel) und die obere Grenze , d. h. bis zum Punkt , ist die Länge .
Um die Darstellung der Neilschen Parabel in Polarkoordinaten zu finden, schneidet man die Ursprungsgerade mit der Kurve. Für gibt es einen vom Nullpunkt (Spitze) verschiedenen Punkt: . Der Abstand dieses Punktes zum Nullpunkt ist . Mit und ergibt sich[5]
Bildet man die Neilsche Einheitsparabel mit der projektiven Abbildung (involutorische Perspektivität mit der Achse und Zentrum ) ab, so erhält man die Kurve , also die kubische Parabel . Die Spitze (Nullpunkt) der Neilschen Parabel wird mit dem Fernpunkt der y-Achse vertauscht.
Diese Eigenschaft lässt sich auch an der Darstellung der Neilschen Parabel in homogenen Koordinaten erkennen: Ersetzt man in (A) (die Ferngerade hat die Gleichung ) und multipliziert mit , erhält man die Kurvengleichung
Wählt man nun die Gerade als Ferngerade und setzt , erhält man die (affine) Kurve
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