Negative Transitivität

Die negative Transitivität einer zweistelligen Relation ${\displaystyle R}$ auf einer Menge ist gegeben, wenn gilt:

${\displaystyle \forall x,y,z:\neg xRy\land \neg yRz\Rightarrow \neg xRz.}$

Ein drittes Element z wird in eine bestehende binäre Relation zwischen x und y eingeordnet, sodass negative Transitivität erfüllt ist.

Strenge schwache Ordnungen erfüllen die negative Transitivität.

Äquivalenzumformungen

Manchmal wird der Zusammenhang der negativen Transitivität auch wie folgt formuliert:^[1]

${\displaystyle (x>y)\Rightarrow (x>z)\lor (z>y)}$

Diese Darstellung erhält man durch Negation einer Implikation. Ersetzt man die Klammerausdrücke durch die allgemeinen Aussagen A, B und C, folgt:

${\displaystyle \neg A\land \neg B\Rightarrow \neg C}$

Wird dieser Ausdruck nun erneut negiert, dreht sich erstens die Implikationsrichtung um und zweitens werden nach den De Morgan’sche Gesetzen sowohl die Negationen von A und B aufgehoben, aber auch die Konjunktion in eine Disjunktion verwandelt:

${\displaystyle \neg (\neg A\land \neg B)\Leftarrow C}$

${\displaystyle A\lor B\Leftarrow C}$

Das entspricht dann grundsätzlich der Form, von der wir oben ausgegangen sind.

Beispiel in Alltagssprache

Wenn Milch nicht weniger kostet als Brot, und Brot nicht weniger kostet als Kuchen, dann kostet Milch auch nicht weniger als Kuchen.

Mikroökonomie

In der mikroökonomischen Haushaltstheorie werden negative Transitivität und Asymmetrie als Annahmen für die strenge Präferenzrelation benutzt.^[1]

Siehe auch

• Transitive Relation

Einzelnachweise

1. Friedrich Breyer: Mikroökonomik: Eine Einführung. Springer; Auflage: 5Aufl. 2011 (25. September 2011). ISBN 978-3642221491. Seite 166.