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In der Mathematik ist -Kohomologie eine Kohomologietheorie für Simplizialkomplexe oder glatte Mannigfaltigkeiten. Sie wird vor allem verwendet, um die "Geometrie im Unendlichen" zu untersuchen.
Sei ein endlichdimensionaler Simplizialkomplex beschränkter Geometrie (d. h. es gibt ein , so dass jeder Simplex höchstens Nachbarn hat). Wir statten mit der Längenmetrik aus, in der jeder Simplex isometrisch zum Standardsimplex ist. Für sei die Menge der -Simplizes von . Definiere die -Koketten von durch
Sie bilden mit der -Norm einen topologischen Vektorraum.
Der Korand-Operator wird definiert durch für alle . Dann definiert man die -Kohomologie von durch
und die reduzierte -Kohomologie durch
Beide sind topologische Vektorräume mit der von der -Norm induzierten Topologie.
Sei eine Quasi-Isometrie zwischen gleichmäßig kontrahierbaren Simplizialkomplexen, dann sind und Isomorphismen topologischer Vektorräume. (Ein metrischer Raum heißt gleichmäßig kontrahierbar, wenn es zu jedem ein gibt, so dass jeder -Ball in einem -Ball kontrahierbar ist.)
Wenn eine Gruppe geometrisch auf einem gleichmäßig kontrahierbaren Simplizialkomplex wirkt, dann ist
Falls zusätzlich das Zentrum von unendlich ist, gilt für alle und . Dies ist insbesondere der Fall für unendliche nilpotente Gruppen.
Für ist die -Kohomologie dual zur -Homologie .
Für Riemannsche Mannigfaltigkeiten der Dimension quasi-isometrisch zu einem Simplizialkomplex beschränkter Geometrie hat man zusätzlich die Poincaré-Dualität .
Für differenzierbare Mannigfaltigkeiten kann äquivalent definiert werden als Quotientenraum der geschlossenen -Formen modulo der Differentiale von -Formen mit .
Sei der -dimensionale hyperbolische Raum. Dann gilt für oder jeweils und für jeweils .
Für Heintze-Gruppen mit und gilt genau dann, wenn .
Für eine einfach zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung ist für alle .
Die Lp-Kohomologie einer topologischen Gruppe ist definiert als stetige Gruppenkohomologie mit Koeffizienten .
Wenn eigentlich diskontinuierlich auf einem gleichmäßig kontrahierbaren Simplizialkomplex wirkt, ist .
Für Gruppen, die lokal kompakt sind, das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllen und eine eigentliche links-invariante Metrik tragen, ist die Lp-Kohomologie invariant unter Quasi-Isometrien. Insbesondere lässt sich die Berechnung der Lp-Kohomologie einfacher Lie-Gruppen auf die Berechnung der Lp-Kohomologie einer parabolischer Untergruppe zurückführen.[1]
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