![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Impl-c-cass-123.svg/langde-640px-Impl-c-cass-123.svg.png&w=640&q=50)
Implizite Kurve
aus Wikipedia, der freien encyclopedia
Eine implizite Kurve ist in der Mathematik eine Kurve in der euklidischen Ebene, die durch eine Gleichung der Form
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Impl-c-cass-123.svg/320px-Impl-c-cass-123.svg.png)
(1) a = 1.1, c = 1 (oben),
(2) a = c = 1 (Mitte),
(3) a = 1, c = 1.05 (unten)
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Ic-raster13-s.svg/320px-Ic-raster13-s.svg.png)
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Fl-sin-cos-nivk-s.svg/640px-Fl-sin-cos-nivk-s.svg.png)
beschrieben wird. Eine implizite Kurve ist also die Gesamtheit der Nullstellen einer Funktion von zwei Variablen. Implizit bedeutet, dass die Gleichung der Kurve nicht nach oder
aufgelöst ist.
Funktionsgraphen werden in der Regel durch eine Gleichung beschrieben und sind deswegen explizit dargestellte Kurven. Die dritte wichtige Beschreibung von Kurven ist die Parameterdarstellung:
. Dabei werden die
- und
-Koordinaten von Kurvenpunkten durch zwei von einem gemeinsamen Parameter abhängigen Funktionen
beschrieben. Der Übergang von einer Darstellung zu einer anderen ist in der Regel nur einfach, wenn eine explizite Darstellung
vorliegt:
(implizit),
(parametrisiert).
Beispiele impliziter Kurven:
- eine Gerade:
- ein Kreis:
- die Neilsche Parabel:
- Cassini-Kurven
(siehe Bild),
(siehe Bild).
Während die ersten drei Beispiele auch einfache Parameterdarstellungen besitzen, ist dies beim 4. und 5. Beispiel nicht der Fall. Beispiel 5) zeigt, dass eine implizite Kurve aus verwirrend vielen Teilkurven bestehen kann.
Man kann mit dem Satz über implizite Funktionen nachweisen, dass unter gewissen Voraussetzungen eine Gleichung (theoretisch) nach
und/oder nach
auflösbar ist. Allerdings ist die Auflösung meistens praktisch unmöglich. Dieses theoretische Ergebnis ist aber der Schlüssel, um anhand der gegebenen Funktion
wesentliche geometrische Eigenschaften wie Tangenten, Normalen und Krümmungen in bekannten Kurvenpunkten zu berechnen (s. unten). Dass implizite Kurven in der Praxis nicht sehr beliebt sind, liegt an einem großen Nachteil: Während man für eine parametrisierte Kurve oder Funktionsgraphen leicht beliebig viele Punkte berechnen kann, ist dies für implizite Kurven in der Regel nicht der Fall. Allerdings haben implizite Darstellungen von Kurven auch ihre Vorteile (s. unten).
- Ist
ein Polynom in
und
, so nennt man die zugehörige Kurve algebraisch.
Beispiel 5) ist nicht algebraisch.
Bemerkung: Eine implizite Kurve mit der Gleichung kann man zum besseren Verständnis auch als Niveaulinie der Höhe 0 der Fläche
auffassen (s. 3. Bild).