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Eine hyperbolische Spirale ist eine ebene Kurve, die sich in Polardarstellung durch die Gleichung
einer Hyperbel beschreiben lässt. Da sie sich auch als Inversion (Kreisspiegelung) einer archimedischen Spirale auffassen lässt, heißt die Kurve auch reziproke Spirale.
1704 studierte Pierre Varignon diese Kurve. Auch Johann Bernoulli und Roger Cotes beschäftigten sich später damit.[1]
Die hyperbolische Spirale mit der Polargleichung
lässt sich in kartesischen Koordinaten durch die Parameterdarstellung
beschreiben.
Die Hyperbel in der --Ebene besitzt die Koordinatenachsen als Asymptoten. Die hyperbolische Spirale (in der --Ebene) nähert sich für dem Nullpunkt an. Für ergibt sich eine Asymptote (s. nächsten Abschnitt).
Aus der Parameterdarstellung und ergibt sich eine Darstellung mit einer Gleichung:
Wegen
hat die Kurve eine
Mit der Formel
für die Krümmung einer Kurve in Polardarstellung und den Ableitungen und der hyperbolischen Spirale ergibt sich für die Krümmung
Die Spiegelung am Einheitskreis (Inversion) lässt sich in Polarkoordinaten durch beschreiben.
Für schneiden sich beide Kurven in einem Fixpunkt auf dem Einheitskreis.
Der Krümmungskreis der archimedischen Spirale im Nullpunkt hat den Radius (siehe Krümmung der archimedischen Spirale) und den Mittelpunkt . Dieser Kreis geht bei der Kreisspiegelung in die Gerade über (siehe Inversion). Also gilt:
Das Bild zeigt ein Beispiel mit . Der Kurvenbogen der archimedischen Spirale (grün), der im Einheitskreis (rot) liegt, wird auf den Teil der hyperbolischen Spirale (blau) abgebildet, der außerhalb des Kreises liegt.
Die Länge des Bogens einer hyperbolischen Spirale zwischen zwei Punkten lässt sich mit der Formel für Kurven in Polardarstellung berechnen:
Den Flächeninhalt eines Sektors der hyperbolischen Spirale berechnet man in Polarkoordinaten:
Die Zentralprojektion einer Schraublinie ist eine hyperbolische Spirale, falls Hauptpunkt und Augpunkt auf der Schraubachse liegen, siehe Schraublinie (Darstellende Geometrie).
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