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Im Allgemeinen ist die Exponentiation zweier reeller Zahlen nicht kommutativ. Die Gleichung hat trotzdem unendlich viele Lösungen.[1][2] Eine Lösung ist .[3]
Die Gleichung wird in einem Brief von Daniel Bernoulli an Christian Goldbach vom 29. Juni 1728 erwähnt.[4] Der Brief enthält die Aussage, dass die einzigen beiden Lösungen der obigen Gleichung, wobei natürliche Zahlen sein sollen, bzw. sind. Die Antwort von Goldbach vom 31. Januar 1729[4] enthält allgemeine Lösungen der Gleichung, die durch die Substitution erhalten wurden. Eine ähnliche Lösung wurde von Leonhard Euler gefunden.[2]
J. van Hengel wies darauf hin, dass für natürliche Zahlen und folgendes gilt: .[5] Es genügt also, und zu betrachten, um alle Lösungen für natürliche Zahlen zu bestimmen.
Das Problem wurde in mehreren Publikationen behandelt.[2][4] Im Jahre 1960 kam die Gleichung in der William Lowell Putnam Competition vor,[6] was Alvin Hausner dazu bewog, die Ergebnisse auf algebraische Zahlkörper auszudehnen.[2][7]
Eine unendliche Menge von „trivialen“ Lösungen ist durch die Bedingung gegeben.
Wir suchen also nach nicht-negativen Lösungspaaren (), für die gilt. Es kann angenommen werden, da die einzige triviale Lösung, für die oder gilt, ist. Wir können also für genau ein schreiben, dass . Die Gleichung lautet jetzt:
Durch Anwendung der -ten Wurzel und Dividieren durch auf beiden Seiten ergibt sich also:
Da per Definition ist, lassen sich also alle nicht-negativen, nicht-trivialen Lösungspaare folgendermaßen schreiben ():
Zudem sind für alle obigen Paare Lösungen der Gleichung. Setzt man beispielsweise beziehungsweise , so erhält man die oben genannte Lösung .
Andere Lösungspaare, die aus algebraischen Zahlen bestehen, sind beispielsweise und , sowie und .
Der Schnittpunkt der zu den obigen Lösungen gehörigen Kurve im und der Kurve liegt bei (mit stetiger Fortsetzung) . In diesem Fall ist
Der Schnittpunkt liegt also bei .
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